讲授LDA基本思想,寻找最佳投影矩阵,PCA与LDA的比较,LDA的实际应用

大纲:

非线性降维算法
流形的概念
流形学习的概念
局部线性嵌入
拉普拉斯特征映射
局部保持投影
等距映射
实验环节

非线性降维算法:

上节介绍了经典的PCA算法,它虽然在很多问题上取得了成功,但是它有它的局限性,因为在现实世界中我们要处理的很多数据它是非线性的,而PCA本身是一个线性化的算法,用线性算法处理非线性问题是不太合适的,所以我们要有非线性的降维技术。

通过一个非线性的函数将x映射到另一个空间中去,得到一个向量y,x的维度一般比y大很多。

非线性降维技术有很多经典的实现:

①核主成分分析,它用一个函数把向量映射到另外一个空间里去处理。

②神经网络,如自动编码器E,受限玻尔兹曼机RBM等。

③流行学习

流形的概念:

英文是manifold,流行是微分几何和拓扑里边的一个概念,可以认为是高维空间里的一个几何结构,如三维空间里边的一个球面,二维空间的曲线,是曲线,曲面在高维空间中的推广。

流形学习的概念:

假设数据在高维空间的分布服从某种几何形状,利用这种几何约束来完成对数据的处理,如降维,分类,聚类。

下面介绍几种经典的流行学习算法,这里是要完成数据降维任务的:

局部线性嵌入
[1] Roweis, Sam T and Saul, Lawrence K. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, 290(5500). 2000: 2323-2326.
拉普拉斯特征映射
[2] Belkin, Mikhail and Niyogi, Partha. Laplacian eigenmaps for dimensionality reduction and data representation. Neural computation. 15(6). 2003:1373-1396.
局部保持投影
[3] He Xiaofei and Niyogi, Partha. Locality preserving projections. NIPS. 2003:234-241.
等距映射
[4] Tenenbaum, Joshua B and De Silva, Vin and Langford, John C. A global geometric framework for nonlinear dimensionality reduction. Science, 290(5500). 2000: 2319-2323.

其中拉普拉斯特征映射和局部保持投影都是一种基于图论的算法。

局部线性嵌入:LLE

[1] Roweis, Sam T and Saul, Lawrence K. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science, 290(5500). 2000: 2323-2326.

是整个流行学习算法的开端和鼻祖,有举足轻重的地位。

高维空间中的每个样本点可以由它周围的点近似的线性组合,用周围几个点的加权平均近似表达它,投影到低维空间里还是要保持这种局部的线性关系。

每个样本可以用它邻居的线性组合近似重构:,点数是有限制的,如限定为距离它最近的k个点来表达它,这体现了局部性,同PCA一样让所有样本xi的重构误差最小化,

求解下面的最优化问题可以得到重构系数:。第一个约束是:当xi和xj的距离||xi-xj||≤ε时它的重构权重wij非0否则为0,还有一种就是把xi最近的k个点挑出来让这些点的wij非0其他的点为0。第二个约束是权重矩阵的每一行权重系数加起来等于1。基于这些假设最终求解最优化问题得到重构洗漱wij

得到重构系数之后,就要完成向低维空间的投影,将向量映射到低维空间,保持这种线性重构关系:,求解该关系的最优化问题。由于局部线性嵌入会保留原始数据的拓扑结构,故降维得到的低维数据具有同高维数据一样的局部线性结构,即wij已知求低维空间的映射向量y,y还有别的约束条件,最终将y求出。

以下推理来自https://www.cnblogs.com/pinard/p/6266408.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral

拉普拉斯特征映射:

它是一种基于图论的方法。
用样本构造图,然后计算拉普拉斯矩阵,最后对矩阵进行特征值分解。

把样本n维空间中的点构造成一张图G,用图论中的手段解决数据降维问题。

边的权重代表相似度或距离。

图的拉普拉斯矩阵是对称半正定矩阵:

有了以上概念,就可以构造出拉普拉斯数据降维算法了。

算法流程:
①构造带权重的图
②计算图的拉普拉斯矩阵
③求解广义特征值问题,求解出特征值最大的前d个对应的特征向量,这些向量按行或按列摆开成一个矩阵(同PCA),这个矩阵就是投影矩阵,用这个矩阵左乘X,把X映射到d维空间中去。

构造带权重的图(V,E,W):

两个点连通性判定,就是判定联通权重是否为0:1.||xi-xj||<ε,如果距离小于某个值视为联通否则不连通,2.如果是k邻近点视为联通否则非联通

权重只的计算:

求解广义特征值问题:(?不明白为什么要这样做能得到映射矩阵)

拉普拉斯特征映射核心:构造图——>计算图的拉普拉斯矩阵——>对矩阵进行特征值分解(同PCA算法一样也是求特征值问题)

局部保持投影:

它也是一种基于图论的算法,它和拉普拉斯映射相似,前面几步是一样的(构造图,计算拉普拉斯矩阵),然后它也是求解一个广义特征值问题:

X是所有样本按照列排起来形成的矩阵,同样可证明所有特征值都大于等于零,然后得到特征值对应的特征向量,组成映射矩阵A,让A左乘向量x映射到l维空间,这和拉普拉斯映射、PCA是一样的。

等距映射:

利用微分几何里的测地线(测地线是地球表面两点之间最短弧线距离)的概念,将数据投影到低维空间之后,尽量保持原有的距离关系。

首先构造图
然后计算两点间的最短距离-Dijkstra算法:DG={dG(i,j)},这样就可以计算流行M上任意两点之间的最短距离了dG(i,j)了。
然后求解下面的最优化问题:

,yi、yj是xi、xj投影后对应的点,投影后它们之间的距离和投影之前的距离的差异尽可能的小,即有了最优化问题,求解之后得到映射后的向量y,和局部线性嵌入有一点点像。

实验环节:

流行学习算法从2000年诞生之后,很多搞机器学习的人去搞流行学习了,数学上面看上去是非常优美的,实际应用中很少有成功的案例,美但不是很实用。

本集总结:

介绍了非线性降维的概念和主要的算法

流行、流行学习概念

四种算法:LLE、拉普拉斯特征映射、局部保持投影、等距映射

LLE主要思想是,每个样本可以由它周围的几个样本来近似的线性表达,把它投影到d维空间里之后还要这种局部线性表达的关系。拉普拉斯特征映射和局部保持投影都是一种基于图论的算法,都是对图的拉普拉斯矩阵进行广义特征值分解,得到一些特征值和特征向量,然后把最大的一些特征值和特征向量取出来,用特征向量组成投影矩阵完成投影,这和PCA有一点像。等距映射用了微分几何中测距线(非欧式空间的直线距离,而是流行上面的测地距离)的概念,把这些样本投影到d维空间里之后还要保持他们在高维空间里面的相对远近关系。

流行学习虽然数学上看起来很美,但少有成功案例。

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