Luogu P5652 基础博弈练习题 (博弈论、图论)

题目链接

https://www.luogu.org/problem/P5652

题解

好题，想了四小时……

首先考虑如何判断胜负:

首先假设只有一个柱子，那就是奇败偶胜。不难发现最后一个奇数后面的偶数不影响结局，考虑最后一个奇数，它前面连续至少\(m\)个柱子都是必胜的。从它前面第\((m+1)\)个柱子开始，如果跳只能跳到必胜态，因此谁先跳谁输，那么就是奇败偶胜。

因此算法就是: 从最后一个奇数开始往前扫，每次跳到它前面距离它不小于\((m+1)\)且最近的奇数，经过的状态是必败态，其余都是必胜。最后如果能跳到左端点就是必败，否则必胜。

考虑如何维护: 显然把每个奇数和前面距离它不小于\((m+1)\)且最近的奇数连边，构成了一个森林。问题等价于判断一个点是否是另一个点的祖先。

RMQ-LCA亲测会TLE，其实很简单，直接按照DFS序判断即可。

时间复杂度\(O(n+q)\).

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define uint unsigned int
#define llong long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0; bool f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
	if(f) return x;
	return -x;
}

const int N = 1e6;
struct Edge
{
	int v,nxt;
} e[(N<<1)+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3];
int sz[N+3];
int a[N+3],prv[N+3];
int dfn[N+3];
int n,m,q,typ,en,cnt;
llong aa,ab,ac,ap;

inline int rnd() {return aa=(aa*ab+ac)%ap;}

void addedge(int u,int v)
{
	en++; e[en].v = v;
	e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}
void dfs(int u)
{
	dfn[u] = ++cnt; sz[u] = 1;
	for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt)
	{
		int v = e[i].v;
		if(v==fa[u]) continue;
		fa[v] = u;
		dfs(v);
		sz[u] += sz[v];
	}
}

int solve(int l,int r)
{
	if(!(a[l]&1)) return 1;
	r = prv[r]; if(dfn[r]>=dfn[l]&&dfn[r]<=dfn[l]+sz[l]-1) {return 0;}
	return 1;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&q,&typ);
	for(int i=1; i<=n; i++) {a[i] = read(),prv[i] = a[i]&1?i:prv[i-1]; if(a[i]&1) {int tmp = i-m-1>0?prv[i-m-1]:0; addedge(tmp,i); addedge(i,tmp);}}
	dfs(0);
	if(typ==0)
	{
		uint fans = 0llu;
		for(int i=1; i<=q; i++)
		{
			int l = read(),r = read();
			fans += solve(l,r)*i*i;
		}
		printf("%u\n",fans);
	}
	else
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&aa,&ab,&ac,&ap);
		uint fans = 0llu;
		for(int i=1; i<=q; i++)
		{
			int l = rnd()%n+1,r = rnd()%n+1; if(l>r) swap(l,r);
			fans += solve(l,r)*i*i;
		}
		printf("%u\n",fans);
	}
    return 0;
}