UOJ#469. 【ZJOI2019】开关 生成函数
原文链接www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ469.html
前言
clytql当场秒掉此题可惜不知道为什么fst了。
题解
考虑构建指数生成函数。
对于第 \(i\) 项,设其概率为 \(p_i\) (即题目中的 \(p_i / \sum_i p_i\)) 。构建指数生成函数:
\]
\(F(x) = \prod_i f_i(x) ,f(x) = \sum_{i} i! [x^i]F(x)\) 的 \(k\) 次项系数就是随机按 \(k\) 次开关到达指定状态的概率。
我们要求的是第一次到达指定状态的概率,所以我们需要将多项式 \(f(x)\) 除去"\(s_i\) 全为 0 时的多项式 \(g(x)\)"。
我们要算的是期望,所以我们要求的是
\]
的各个系数之和。注意由于我们在求 \(f(x)\)、\(g(x)\) 时,就已经乘了一个阶乘将指数生成函数转化成对应的普通生成函数了。因为我们要除去的方案是从终止状态出发再回到终止状态的方案数(OGF),而不是在到达终止状态之前绕一圈的方案数(如果除以EGF)。
由于
\]
于是,我们来对每一个项考虑一下:
\]
\]
\]
\]
接下来我们把 \(x = 1\) 代入求解。
考虑到当 \(k = 1\) 时我们会得到 NAN,这导致了求解失败。
但是我们显然可以肯定答案不是 NAN。那么发生了什么?
之前提到,答案是
\]
我们只需要将分子分母上下同乘 \((1-kx) ^ 2\) 。
注意到 \(g^2(x)\) 里面有 \(\cfrac {1}{(1-kx) ^ 2}\) ,但是 $f'(x) g(x) $ 和 \(f(x)g'(x)\) 里面都有 \(\cfrac {1}{(1-kx) ^ 3}\) ,看起来似乎又是 NAN。注意到 $f'(x) g(x) $ 和 \(f(x)g'(x)\) 里面的 \(\cfrac {1}{(1-kx) ^ 3}\) 项在减法时抵消了,所以没有影响。
总时间复杂度 \(O(n \sum{p_ i} )\) 。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof x)
#define For(i,a,b) for (int i=(a);i<=(b);i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=(b);i>=(a);i--)
#define fi first
#define se second
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define outval(x) cerr<<#x" = "<<x<<endl
#define outtag(x) cerr<<"---------------"#x"---------------"<<endl
#define outarr(a,L,R) cerr<<#a"["<<L<<".."<<R<<"] = ";\
For(_x,L,R)cerr<<a[_x]<<" ";cerr<<endl;
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector <int> vi;
LL read(){
LL x=0,f=0;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch))
f|=ch=='-',ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return f?-x:x;
}
const int N=105,S=1e5+10,mod=998244353;
int Pow(int x,int y){
int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
if (y&1)
ans=(LL)ans*x%mod;
return ans;
}
void Add(int &x,int y){
if ((x+=y)>=mod)
x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
if ((x-=y)<0)
x+=mod;
}
int Add(int x){
return x>=mod?x-mod:x;
}
int Del(int x){
return x<0?x+mod:x;
}
int inv2=(mod+1)>>1;
int n;
int s[N],p[N],sum=0,invs;
int f[S],g[S],val[S],inv[N],O=5e4+5;
int ans=0;
void Get(int *a){
static int b[S];
For(i,-sum,sum){
a[i+O]=0;
val[i+O]=(LL)Del(i)*invs%mod;
inv[i+O]=Pow(Del(1-val[i+O]),mod-2);
}
a[0+O]=1;
For(i,1,n){
For(j,-sum,sum)
b[j+O]=0;
For(j,-sum,sum){
if (!a[j+O])
continue;
Add(b[j+p[i]+O],a[j+O]);
if (s[i])
Del(b[j-p[i]+O],a[j+O]);
else
Add(b[j-p[i]+O],a[j+O]);
}
For(j,-sum,sum)
a[j+O]=b[j+O];
}
}
int calc1(int *a,int *b){
// a' * b * (1 - x) ^ 2
int ans=0;
For(i,-sum,sum-1)
Add(ans,(LL)b[i+O]*inv[i+O]%mod);
ans=(LL)ans*a[sum+O]%mod;
return ans;
}
int calc2(int *a){
return (LL)a[sum+O]*a[sum+O]%mod;
}
int main(){
n=read();
For(i,1,n)
s[i]=read();
For(i,1,n)
p[i]=read(),sum+=p[i];
invs=Pow(sum,mod-2);
Get(f),clr(s),Get(g);
Add(ans,calc1(f,g));
Del(ans,calc1(g,f));
ans=(LL)ans*Pow(calc2(g),mod-2)%mod;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
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