【学习笔记】薛定谔的喵咪Cat—球盒问题（全详解）

【题目描述】

当一个猫在盒子里时，因为放射物的状态我们不知道，所以猫的状态我们也不知道，这就所谓猫的生死纠缠态，也是所谓的薛定谔的猫。

当我们做需要大量实验时，就需要统计猫的个数与盒子的数量，以及之间的关系。因为实验情况不同，所以我们要研究的模型也不尽相同。我们用 $opt$ 表示。

$opt = 1:$ 猫的颜色不同，盒子的颜色不同，允许盒子为空。

$opt = 2:$ 猫的颜色相同，盒子的颜色不同，不许盒子为空。

$opt = 3:$ 猫的颜色相同，盒子的颜色不同，允许盒子为空。

$opt = 4:$ 猫的颜色不同，盒子的颜色相同，不许盒子为空。

$opt = 5:$ 猫的颜色不同，盒子的颜色不同，不许盒子为空。

$opt = 6:$ 猫的颜色不同，盒子的颜色相同，允许盒子为空。

$opt = 7:$ 猫的颜色相同，盒子的颜色相同，允许盒子为空。

$opt = 8:$ 猫的颜色相同，盒子的颜色相同，不许盒子为空。

$opt = 9:$ 此时猫分两种颜色，黑色和白色分别各有 $a$ 只，盒子数量和猫的个数相同，每个盒子里面只能放一只猫，并且必须满足如下限制,即每一个白色猫必须和一只黑色猫配对（白猫在黑猫前，允许嵌套）。

$eg.$ 我们用 $0$ 表示白猫，$1$ 表示黑猫，则：

$0011$，$010101$，$001011$ 合法。

$1100$，$101010$，$010110$ 不合法。

注：某物有色代表此物每一个都不相同

给定 $opt$，猫的数量 $a$，盒子的数量 $b$，将猫放入盒子，求所有本质不同的合法方案数。

【输入】

第一行包含一个整数 $q$ 表示询问的个数，接下来 $q$ 行，每行包含三个整数 $opt,a,b$，分别表示当前询问的是模型 $opt$，其中猫为 $a$ 个，盒子为 $b$ 个。

【输出】

输出包含 $q$ 行，每行一个整数表示询问的答案，要求答案对 $998244353$ 取模。

【样例】

【数据范围】

测试点	$q$	$a,b$	包含 $opt$
$1$	$q \leqslant 5$	$a,b \leqslant 5$	$1$
$2$	$q \leqslant 10$	$a,b \leqslant 10$	$1,2$
$3$	$q \leqslant 15$	$a,b \leqslant 10^6$	$1,2,3$
$4$	$q \leqslant 20$	$a,b \leqslant 100$	$1,2,3,4$
$5$	$q \leqslant 25$	$a,b \leqslant 100$	$1,2,3,4,5$
$6$	$q \leqslant 30$	$a,b \leqslant 100$	$1,2,3,4,5,6$
$7$	$q \leqslant 35$	$a,b \leqslant 100$	$7,8$
$8$	$q \leqslant 40$	$a,b \leqslant 10^6$	$9$
$9$	$q \leqslant 45$	$a,b \leqslant 100$	$7,8,9$
$10$	$q \leqslant 50$	$a,b \leqslant 100$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9$

【分析】

$a$ 只喵咪放入 $b$ 个盒子，其实就是总共 $8$ 种球盒模型混进去了一个不明物体QAQ。

模型	球是否有色	盒是否有色	盒可否为空	计算公式	注
$1$	√	√	√	$b^a$	快速幂
$2$	×	√	×	$C_{a-1}^{b-1}$	组合数
$3$	×	√	√	$C_{a+b-1}^{b-1}$	组合数（或$C_{a+b-1}^a$）
$4$	√	×	×	$S_2(a,b)$	第二类斯特林数
$5$	√	√	×	$b!*S_2(a,b)$	第二类斯特林数
$6$	√	×	√	$B_a$	贝尔数（或$\sum_{i=1}^bS_2(a,i)$）
$7$	×	×	√	$dp[a+b][b]$	$dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1]$
$8$	×	×	×	$dp[a][b]$	$dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1]$

接下来将会以 $“$ 喵咪 $”$ 指代 $“$ 球 $”$ 作解释。

1：快速幂

问题描述： 球有色，盒子有色，盒子可为空。$(a,b \leqslant 10^6)$

这个应该是最简单的了。对于每一个喵咪都可以任意的安排在任意一个盒子里面，于是每只喵咪都有 $b$ 种选择，一共 $a$ 只喵咪。

得出答案为：$b^a$ 。

2：组合数

问题描述： 球无色，盒子有色，盒子不可为空。$(a,b \leqslant 10^6)$

既然喵咪都长一个样，那就把它们排成一排站好，在其之间插入 $b-1$ 个挡板，将其分为 $b$ 个部分，每个部分都有若干只喵咪，而$a$ 只喵咪之间一共有 $a-1$ 个空隙可插。

得出答案为： $C_{a-1}^{b-1}$ 。

3：组合数

问题描述： 球无色，盒子有色，盒子可为空。$(a,b \leqslant 10^6)$

在上述模型 $2$ 的基础上稍作改进即可。

盒子不可为空，这说明了什么？$a$ 只喵咪之间的一共 $a+1$ 个空位置里面（对于这道题，喵咪队列的外面也可以插了），每个位置都可插无限个挡板（实际上最大值为 $b-1$ 个），也就是说板子插到哪儿，同时插几根板子，都没有限制。

既然没有那么多要求，那就干脆把喵咪和板子都看作同一类元素，插进去后的状态就是这一共 $a+b-1$ 个元素的某种排列，要求是这个排列中板子的个数为 $b-1$（或者说喵咪的个数为 $a$）。

得出答案为：$C_{a+b-1}^{b-1}$（或$C_{a+b-1}^a$）。

4：第二类斯特林数

问题描述： 球有色，盒子无色，盒子不可为空。$(a,b \leqslant 100)$

这里的喵咪有颜色分别，也就是说每只喵咪都不相同，而盒子又都是没有区别的，那么就可以考虑将其视作集合。将盒子视为集合，喵咪视为里面的元素，恰好满足集合的定义。再看看 $Stirling$ 数的定义：$S_2(a,b)$ 表示将 $a$个不同的元素拆分成 $b$ 个集合的方案数。于是这个问题就这样解决啦！

得出答案为：$S_2(a,b)$ 。

5：第二类斯特林数

问题描述： 球有色，盒子有色，盒子不可为空。$(a,b \leqslant 100)$

盒子与球 $[P1287]$总算是找到一道例题了。。。。

在上述模型 $4$ 的基础上稍作改进即可。

由于集合出现了颜色分别，因此对于每一种元素（喵咪们）的划分，都可以有 $b!$ 种方案提供集合来装下这些元素。

得出答案为：$b!*S_2(a,b)$ 。

6：贝尔数

问题描述： 球有色，盒子无色，盒子可为空。$(a,b \leqslant 100)$

在上述模型 $4$ 的基础上稍作改进即可。

盒子可以为空，说明划分出来的集合数目可以是任意的（当然要小于等于 $b$ 啦QAQ），为什么呢？假如我们划分出了 $5$ 个集合来装元素，那么剩下的 $b-5$ 个作为空集就可以了。由于本题数据不大（$a,b \leqslant 100$），直接暴力枚举划分 $1$~$b$ 个集合的方案数再求和就 $ok$ 啦。

实际上就是贝尔数。

得出答案为：$B_a=\sum_{i=1}^bS_2(a,i)$

7 , 8：递推

关于 $7$ 和 $8$ 似乎有一个极其复杂数学公式推导，奈何本人能力有限，无法理解，只会递推方程解决。

先说 $8$，再说 $7$。

模型8

问题描述： 球无色，盒子无色，盒子不可为空。$(a,b \leqslant 100)$

设 $dp[i][j]$ 表示 $i$ 只喵咪和 $j$ 个盒子的方案数。

问题可理解为：求关于 $x_{1,2,3...b}$ 的方程 $\sum_{i=1}^b x_i=a$ $($为了避免方案重复：$1 \leqslant x_1 \leqslant x_2 ... \leqslant x_b)$ 的解的个数。

这里可以分两种情况：

$(1).$ $x_1=1$ ，

原方程可化为：$\sum_{i=2}^b x_i=a-1$ $(1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 ... \leqslant x_b)$，

即：$\sum_{i=1}^{b-1} x'_i=a-1$ $(1 \leqslant x'_1 \leqslant x'_2 ... \leqslant x'_{b-1})$，

其方案数为 $dp[a-1][b-1]$ 。

$(2).$ $x_1 \geqslant 2$ ，

原方程可化为：$\sum_{i=1}^b (x_i-1)=a-b$ $(2 \leqslant x_1 \leqslant x_2 ... \leqslant x_b)$，

即 $\sum_{i=1}^b x'_i=a-b$ $(1 \leqslant x'_1 \leqslant x'_2 ... \leqslant x'_b)$，

其方案数为 $dp[a-b][b]$。

综上所述，递推方程为：$dp[a][b]=dp[a-1][b-1]+dp[a-b][b]$ 。

得出答案为： $dp[a][b]$。

模型7

问题描述： 球无色，盒子无色，盒子可为空。$(a,b \leqslant 100)$

在上述模型 $8$ 的基础上稍作改进即可。

盒子可以为空就意味着多了一种情况：$x_?=0$，可以在方程两边同时加上一个 $b$，原方程可化为：$\sum_{i=1}^b (x_i+1)=a+b$ $(0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 ... \leqslant x_b)$，

问题可转化为：求关于 $x'_{1,2,3...b}$ 的方程 $\sum_{i=1}^b x'_i=a+b$ $(1 \leqslant x'_1 \leqslant x'_2 ... \leqslant x'_b)$的解的个数。和模型 $8$ 里那个问题一样，只是这里的答案要变一下。

得出答案为：$dp[a+b][b]$。

9：Catalan数

(部分摘自百度百科以及$Silent$_$EAG$)

问题描述： 此时猫分两种颜色，黑色和白色分别各有 $a$ 只，盒子数量和猫的个数相同，每个盒子里面只能放一只猫，并且必须满足如下限制,即每一个白色猫必须和一只黑色猫配对（白猫在黑猫前，允许嵌套）。$(a,b \leqslant 10^6)$

$eg.$ 我们用 $0$ 表示白猫，$1$ 表示黑猫，则：

$0011$，$010101$，$001011$ 合法。

$1100$，$101010$，$010110$ 不合法。

实际上这已经不能算是球盒模型的问题了，只是 $Catalan$ 的一种变型而已。

当时这道题作为一道 $noip$ 考前模拟的压轴题，是一个学长自己出的，后来他告诉我们：正规考式的压轴题一般都是这种按子问题得分的形式，而且为了防 $AK$ 会把最后一问设置地极其反人类，当时我就懵逼了。。。现在想想好像难度也不是太高，只要对 $Catalan$ 熟悉，看一眼就知道是简单套路，或者直接打个表也能看出来 $($ $Catalan$ 数的前几项： $1,1,2,4,14,42,132)$。

关于这个问题的 $6$ 种变型

(1). 火车进出栈

一个栈的进栈序列为 $1,2,3,..n,$ 有多少个不同的出栈序列?

(2). 找零钱（找一半）

有 $2n$ 个人排成一行进入剧场。入场费 $5$ 元。其中只有 $n$ 个人有一张 $5$ 元钞票，另外 $n$ 人只有 $10$ 元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有 $10$ 元的人买票，售票处就有 $5$ 元的钞票找零？

(3). 三角网格

形如这样的直角三角形网格，从左上角开始，只能向右走和向下走，问总共有多少种走法？

(4). 括号排列

有 $n$ 对括号，可以并列或嵌套排列，共有多少种情况？

(5). 球盒问题

见上。

(6). 最适合理解的模型

$n$ 个 $0$ 和 $n$ 个 $1$ 组成一个 $2n$ 位的 $2$ 进制数，要求从左到右扫描时，$1$ 的累计数始终都小于等于 $0$ 的累计数，求满足条件的数有多少？

理解方式

模型
$(1)$	入栈	出栈
$(2)$	用 $5$ 元支付	用 $10$ 元支付
$(3)$	向下走	向右走
$(4)$	左括号	右括号
$(5)$	$0$	$1$
$(6)$	$0$	$1$

注：同列事件可视为等价，且在题目要求中左边事件的次数/大小需要始终大于右边。

观察模型 $(6)$：在 $2n$ 位上填入 $n$ 个 $0$ 的方案数为 $C_{2n}^n$。而从 $C_{2n}^n$ 中减去不符合要求的方案数即为所求答案。

在从左往右扫时，必然会在某一个奇数位 $2p+1$ 上首先出现 $p+1$ 个 $1$，和 $p$ 个 $0$

此后的 $[2p+2,2n]$ 上的 $2n−(2p+1)$ 位有 $n−p$ 个 $0$ , $n−p−1$ 个 $1$。如若把后面这部分 $2n−(2p+1)$ 位的 $1$ 与 $0$ 互换，使之成为 $n−p$ 个 $1$，$n−p−1$ 个 $0$，结果得 $1$ 个由 $n+1$ 个 $1$ 和 $n−1$ 个 $0$ 组成的 $2n$ 位数，即一个不合法的方案必定对应着一个由 $n+1$ 个 $1$ 和 $n-1$ 个 $0$ 组成的一个排列。

还可以倒过来反证：

任意一个由 $n+1$ 个 $1$ 和 $n-1$ 个 $0$ 组成的一个排列，由于 $1$ 的个数多了 $2$ 个，且 $2n$ 为偶数，所以必定在某个奇数位 $2p+1$ 上出现 $1$ 的个数超过 $0$ 的个数。同样把后面部分 $1$ 和 $0$ 互换，成为了由 $n$ 个 $0$ 和 $n$ 个 $1$ 组成的 $2n$ 位数。

由此，每一个不合法的方案总是与唯一一个由 $n+1$ 个 $1$ 和 $n−1$ 个 $0$ 组成的排列一一对应。

于是，不合法的方案数就可以写作：$C_{2n}^{n+1}$，得出答案为： $Catalan(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n+1}$。

可以将这个式子再化简一下：

$\begin{aligned} \text Catalan(n) &=C_{2 n}^{n}-C_{2 n}^{n+1} \\ &=\frac{(2 n) !}{n ! n !}-\frac{(2 n)}{(n+1) !(n-1) !} \\ &=\frac{(2 n) !}{\frac{n+1}{n+1} * n(n-1) !}-\frac{(2 n) !}{(n+1) !(n-1) !} \\ &=\frac{(2 n) !}{(n+1) ! *(n-1) !} *\left(\frac{n+1}{n}-1\right) \\ &=\frac{(2 n) !}{(n+1) n ! *(n-1) !} * \frac{1}{n} \\ &=\frac{(2 n) !}{(n+1) n ! * \frac{n !}{n+1}} \\ &=\frac{C_{2 n}^{n}}{n+1} \end{aligned}$

【Code】

#include<cstdio>

#define LL long long

#define Re register LL

const int P=998244353,N=1e6+5;

LL T,a,b,f,opt,cnt,jc[N*2+5],dp[205][205],S[105][105];

inline void in(Re &x){

    x=f=0;char c=getchar();

    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();

    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();

    if(f)x=-x;

}

inline LL mi(Re x,Re k){

    Re ans=1;

    while(k){

        if(k&1)ans=(ans*x)%P;

        x=(x*x)%P;k>>=1;

    }

    return ans%P;

}

inline LL niv(Re x){return mi(x,P-2);}

inline LL c(Re m,Re n){

    if(n<m)return 0;

    if(n<P)return jc[n]*niv(jc[m])%P*niv(jc[n-m])%P;

    return c(m/P,n/P)*c(m%P,n%P)%P;

}

inline void Stirling(){

    for(Re i=0;i<=100;++i)S[i][i]=1;

    for(Re i=1;i<=100;++i)

    	for(Re j=1;j<=100;++j)

            S[i][j]=(S[i-1][j-1]+S[i-1][j]*j%P)%P;

}

inline void DP(){

    dp[0][0]=1;

    for(Re i=1;i<=200;++i)

    	for(Re j=1;j<=i;++j)

            dp[i][j]=(dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1])%P;

}

inline LL Catalan(Re n){return c(n,n<<1)*niv(n+1)%P;}

int main(){

//  freopen("cat.in","r",stdin);

//  freopen("cat.out","w",stdout);

    jc[0]=1;for(Re i=1;i<=N*2;i++)jc[i]=jc[i-1]*i%P;

    in(T);Stirling();DP();

    while(T--){

        in(opt),in(a),in(b);

        if(opt==1)printf("%lld\n",mi(b,a));

        else if(opt==2)printf("%lld\n",c(b-1,a-1));

        else if(opt==3)printf("%lld\n",c(b-1,a+b-1));

        else if(opt==4)printf("%lld\n",S[a][b]);

        else if(opt==5)printf("%lld\n",jc[b]*S[a][b]%P);

        else if(opt==6){

            Re ans=0;

            for(Re i=1;i<=b;++i)(ans+=S[a][i])%=P;

            printf("%lld\n",ans);

        }

        else if(opt==7)printf("%lld\n",dp[a+b][b]);

        else if(opt==8)printf("%lld\n",dp[a][b]);

        else if(opt==9)printf("%lld\n",Catalan(a));

    }

}