【XSY3320】string AC自动机 哈希 点分治
题目大意
给一棵树，每条边上有一个字符，求有多少对 \((x,y)(x<y)\)，满足 \(x\) 到 \(y\) 路径上的边上的字符按顺序组成的字符串为回文串。
\(1\leq n\leq 50000,1\leq x_i,y_i\leq n,z_i\in\{0,1\}\)
题解
观察一条经过重心的回文串是长什么样的
\(S\) 是一个任意的字符串，\(T\) 是一个回文串。
建出根到每个节点对应的串的AC自动机。
那么 \(x\) 这边的 \(S\) 串就是 \(x\) 对应的AC自动机节点的一个后缀， \(T\) 串是一个前缀。
dfs 整棵树的 fail 树，先统计每个点作为 \(x\) 点的贡献，再把作为 \(y\) 点的贡献加到数据结构中。
开 \(\sqrt n\) 个长度为 \(\sqrt n\) 的数组 \(c_{1,\sqrt n}\)。\(c_{i,j}\) 表示当前节点有多少个长度 \(\bmod i=j\) 的祖先。
当一个点是 \(y\) 点的时候，令对应长度的字符串的出现次数 \(+1\)，还要对于 \(\leq \sqrt n\) 的所有数 \(i\)，令 \(c_{i,\lvert S \rvert \bmod i}++\)。
当一个点是 \(x\) 点的时候，一个回文串的所有回文前缀可以被表示为 \(O(\log n)\) 个等差数列，公差 \(\leq \sqrt n\) 的那部分在 \(c\) 里面查，剩下的暴力查就好了。
记一个等差数列的首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)，末项为 \(a_n\)，那么贡献就是 dfs 到深度为 \(a_n\) 的点时 \(c_{d,a_1\bmod d}\) 的值减掉 dfs 到深度为 \(a_1-d\) 的点时 \(c_{d,a_1\bmod d}\) 的值。
先 dfs 一遍把所有询问的信息插到 vector 中，再 dfs 一遍计算答案。
求一个串的所有回文前缀可以直接哈希。
时间复杂度：\(f(n)=O(n^\frac{3}{2})+O(n\log^2 n)=O(n^\frac{3}{2})\)
\(T(n)=2T(\frac{n}{2})+f(n)=2T(\frac{n}{2})+O(n^\frac{3}{2})=O(n^\frac{3}{2})\)
代码
把这份代码中的后缀自动机换成 AC自动机，回文自动机换成哈希就好了。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
using std::queue;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=50010;
vector<pii> g[N];
int sz[N];
int totsz,rt,rtsz;
int b[N];
int n;
int f[N];
ll* ss[N];
ll ss2[N];
ll ans=0;
int _log[N];
struct info
{
int x;
int y;
int z;
info(int a=0,int b=0,int c=0):x(a),y(b),z(c){}
};
int cmp(info a,info b)
{
if(a.x!=b.x)
return a.x<b.x;
return a.z<b.z;
}
void dfs1(int x,int fa)
{
sz[x]=1;
for(auto v:g[x])
if(v.first!=fa&&!b[v.first])
{
dfs1(v.first,x);
sz[x]+=sz[v.first];
}
}
void dfs2(int x,int fa)
{
int mx=totsz-sz[x];
for(auto v:g[x])
if(v.first!=fa&&!b[v.first])
{
dfs2(v.first,x);
mx=max(mx,sz[v.first]);
}
if(mx<rtsz)
{
rtsz=mx;
rt=x;
}
}
void dfs3(int x,int fa)
{
f[x]=fa;
for(auto v:g[x])
if(v.first!=fa&&!b[v.first])
dfs3(v.first,x);
}
int tot;
int str[N];
namespace sam
{
int next[2*N][2];
int fail[2*N];
int len[2*N];
int last,cnt;
int b[2*N];
int a[2*N][2];
int s[2*N];
void init()
{
while(cnt)
{
next[cnt][0]=next[cnt][1]=0;
a[cnt][0]=a[cnt][1]=0;
b[cnt]=0;
s[cnt]=0;
cnt--;
}
cnt=1;
last=1;
}
int insert(int p,int c)
{
if(next[p][c])
{
last=next[p][c];
s[last]++;
return last;
}
// int p=last;
int np=++cnt;
len[np]=len[p]+1;
s[np]=1;
for(;p&&!next[p][c];p=fail[p])
next[p][c]=np;
if(!p)
fail[np]=1;
else
{
int q=next[p][c];
if(len[q]==len[p]+1)
fail[np]=q;
else
{
int nq=++cnt;
len[nq]=len[p]+1;
memcpy(next[nq],next[q],sizeof next[q]);
fail[nq]=fail[q];
fail[q]=fail[np]=nq;
for(;p&&next[p][c]==q;p=fail[p])
next[p][c]=nq;
}
}
return last=np;
}
}
namespace pam
{
int next[N][2];
int trans[N][2];
int fail[N];
int len[N];
int diff[N];
int link[N];
int top[N];
int last;
int cnt;
void init()
{
while(cnt>=0)
{
next[cnt][0]=next[cnt][1]=0;
trans[cnt][0]=trans[cnt][1]=0;
cnt--;
}
cnt=1;
str[0]=-1;
fail[0]=1;
fail[1]=0;
len[0]=0;
len[1]=-1;
last=0;
link[0]=0;
diff[0]=1;
diff[1]=0;
top[0]=0;
top[1]=1;
trans[0][0]=trans[0][1]=trans[1][0]=trans[1][1]=1;
}
int find(int x,int c)
{
return str[tot-len[x]-1]==c?x:trans[x][c];
}
void insert(int c)
{
str[++tot]=c;
last=find(last,c);
int now=last;
if(!next[now][c])
{
int cur=++cnt;
len[cur]=len[now]+2;
last=find(fail[last],c);
fail[cur]=next[last][c];
diff[cur]=len[cur]-len[fail[cur]];
if(diff[cur]==diff[fail[cur]])
{
link[cur]=link[fail[cur]];
top[cur]=top[fail[cur]];
}
else
{
link[cur]=fail[cur];
top[cur]=cur;
}
if(!link[cur])
link[cur]=cur;
memcpy(trans[cur],trans[fail[cur]],sizeof trans[cur]);
trans[cur][str[tot-len[fail[cur]]]]=fail[cur];
next[now][c]=cur;
}
last=next[now][c];
}
}
namespace trie
{
int a[N][2];
int s[N];
int cnt;
void clear()
{
while(cnt)
{
a[cnt][0]=a[cnt][1]=0;
s[cnt]=0;
cnt--;
}
cnt=1;
}
}
ll s,s2;
int pos[N];
int pos2[N];
int pos3[N];
int pos4[N];
int q[N];
int len[N],id[N],top;
int head,tail;
vector<int> e[2*N];
int sq;
vector<info> h[2*N];
int orzzjt,orzzjt2;
void bfs(int x)
{
sam::init();
// sam::s[1]=1;
pos[x]=1;
head=1;
tail=0;
q[++tail]=x;
trie::clear();
pos4[x]=1;
while(tail>=head)
{
int y=q[head++];
s+=trie::s[pos4[y]];
trie::s[pos4[y]]++;
for(auto v:g[y])
if(!b[v.first]&&v.first!=f[y])
{
pos[v.first]=sam::insert(pos[y],v.second);
q[++tail]=v.first;
if(trie::a[pos4[y]][v.second])
pos4[v.first]=trie::a[pos4[y]][v.second];
else
pos4[v.first]=trie::a[pos4[y]][v.second]=++trie::cnt;
}
}
}
void dfs(int x,int fa)
{
for(int y=pos[x];y!=1&&!sam::b[y];y=sam::fail[y])
{
sam::a[sam::fail[y]][str[tot-sam::len[sam::fail[y]]]]=y;
sam::b[y]=1;
}
//这样建出来的后缀树不是完整的，但已经够用了
int now=pam::last;
pos2[x]=now;
if(pam::len[now]==tot)
{
if(fa)
s2++;
pos3[x]=now;
}
else
pos3[x]=pos3[fa];
for(auto v:g[x])
if(!b[v.first]&&v.first!=fa)
{
pam::last=now;
pam::insert(v.second);
dfs(v.first,x);
tot--;
}
}
void dfs4(int x)
{
len[++top]=sam::len[x];
id[top]=x;
for(auto v:e[x])
for(int y=pos3[v];y>1;)
if(pam::diff[y]<=sq)
{
h[id[lower_bound(len+1,len+top+1,sam::len[x]-pam::len[y]-pam::diff[y])-len]].push_back(info(sam::len[x]-pam::len[y]-pam::diff[y],pam::diff[y],-1));
h[id[lower_bound(len+1,len+top+1,sam::len[x]-pam::len[pam::link[y]])-len]].push_back(info(sam::len[x]-pam::len[pam::link[y]],pam::diff[y],1));
//h.push_back(info(sam::len[x]-pam::len[y],id[lower_bound(len+1,len+top+1,sam::len[x]-pam::len[y])-len],1));
// h.push_back(info(sam::len[x]-pam::len[pam::link[y]]+pam::diff[y],id[lower_bound(len+1,len+top+1,sam::len[x]-pam::len[pam::link[y]]+pam::diff[y])-len],-1));
y=pam::fail[pam::link[y]];
orzzjt2+=_log[top];
}
else
{
y=pam::fail[y];
}
if(sam::a[x][0])
dfs4(sam::a[x][0]);
if(sam::a[x][1])
dfs4(sam::a[x][1]);
top--;
}
void dfs5(int x)
{
for(auto v:h[x])
if(v.x>=0&&v.x!=sam::len[x])
s+=ss[v.y][v.x%v.y]*v.z;
orzzjt+=sq;
for(int i=1;i<=sq;i++)
ss[i][sam::len[x]%i]+=sam::s[x];
ss2[sam::len[x]]+=sam::s[x];
for(auto v:h[x])
if(v.x>=0&&v.x==sam::len[x])
s+=ss[v.y][v.x%v.y]*v.z;
for(auto v:e[x])
for(int y=pos3[v];y>1;)
if(pam::diff[y]<=sq)
{
y=pam::fail[pam::link[y]];
}
else
{
s+=ss2[sam::len[x]-pam::len[y]];
y=pam::fail[y];
}
if(sam::a[x][0])
dfs5(sam::a[x][0]);
if(sam::a[x][1])
dfs5(sam::a[x][1]);
for(int i=1;i<=sq;i++)
ss[i][sam::len[x]%i]-=sam::s[x];
ss2[sam::len[x]]-=sam::s[x];
}
ll calc(int x)
{
s=0;
s2=0;
bfs(x);
pam::init();
dfs(x,0);
for(int i=1;i<=sam::cnt;i++)
{
e[i].clear();
h[i].clear();
}
for(int i=1;i<=tail;i++)
e[pos[q[i]]].push_back(q[i]);
dfs4(1);
// for(int i=1;i<=sam::cnt;i++)
// sort(h[i].begin(),h[i].end());
dfs5(1);
return s;
}
int c[N],c2[N];
int t;
vector<pii> g2;
void solve(int x)
{
dfs1(x,0);
totsz=sz[x];
rtsz=0x7fffffff;
dfs2(x,0);
x=rt;
dfs3(x,0);
int t=0;
sq=sqrt(totsz);
// sq=0;
ans+=calc(x);
ans+=s2;
for(auto v:g[x])
if(!b[v.first])
{
b[v.first]=1;
c[++t]=v.first;
c2[t]=v.second;
}
g2=g[x];
g[x].clear();
for(int i=1;i<=t;i++)
{
b[c[i]]=0;
g[x].clear();
g[x].push_back(pii(c[i],c2[i]));
ans-=calc(x);
b[c[i]]=1;
}
g[x]=g2;
for(int i=1;i<=t;i++)
b[c[i]]=0;
b[x]=1;
for(auto v:g[x])
if(!b[v.first])
solve(v.first);
}
int main()
{
open("string");
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1,k=0;j<=n;j<<=1,k++)
_log[i]=k;
int _sqrt=sqrt(n);
for(int i=1;i<=_sqrt;i++)
{
ss[i]=new ll[i];
for(int j=0;j<i;j++)
ss[i][j]=0;
}
int x,y,z;
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
g[x].push_back(pii(y,z));
g[y].push_back(pii(x,z));
}
solve(1);
// assert(ans%2==0);
// ans/=2;
printf("%lld\n",ans);
// printf("%d\n",orzzjt);
// printf("%d\n",orzzjt2);
return 0;
}
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