机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python,然后也想对一些机器学习算法加深下了解,所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍,所以就参考这本书的过程来学习了。

机器学习中有两类的大问题,一个是分类,一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本,训练某种学习机器,使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning(监督学习)。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号,希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别,这在机器学习中被称作 unsupervised learning (无监督学习)。在本文中,我们关注其中一个比较简单的聚类算法:k-means算法。

一、k-means算法

通常,人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类,即把相似的(或距离近的)样本聚为同一类,而把不相似的(或距离远的)样本归在其他类。

我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示,假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster,其中两个紧凑一些,剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组,以便能区分出属于不同的簇的数据,如果按照分组给它们标上不同的颜色,就是像下图右边的图那样:

如果人可以看到像上图那样的数据分布,就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢?这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

k-means算法是一种很常见的聚类算法,它的基本思想是:通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案,使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是:

式中,μc(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小,直观的来说,各类内的样本越相似,其与该类均值间的误差平方越小,对所有类所得到的误差平方求和,即可验证分为k类时,各聚类是否是最优的。

上式的代价函数无法用解析的方法最小化,只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇(cluster),其中k是用户给定的,其求解过程非常直观简单,具体算法描述如下:

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

对于每一个样例 i,计算其应该属于的类:

对于每一个类 j,重新计算该类的质心:

}

下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果,这里k取2。

其伪代码如下:

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点(随机选择)

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

对数据集中的每一个数据点

对每一个质心

计算质心与数据点的距离

将数据点分配到距离最近的簇

对每一个簇,计算簇中所有点的均值,并将均值作为质心

********************************************************************

二、Python实现

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方,如果有,还望大家指正(每次的运行结果都有可能不同)。里面我写了个可视化结果的函数,但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码:

kmeans.py

  1. #################################################
  2. # kmeans: k-means cluster
  3. # Author : zouxy
  4. # Date   : 2013-12-25
  5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
  6. # Email  : zouxy09@qq.com
  7. #################################################
  8. from numpy import *
  9. import time
  10. import matplotlib.pyplot as plt
  11. # calculate Euclidean distance
  12. def euclDistance(vector1, vector2):
  13. return sqrt(sum(power(vector2 - vector1,
    2)))
  14. # init centroids with random samples
  15. def initCentroids(dataSet, k):
  16. numSamples, dim = dataSet.shape
  17. centroids = zeros((k, dim))
  18. for i in range(k):
  19. index = int(random.uniform(0, numSamples))
  20. centroids[i, :] = dataSet[index, :]
  21. return centroids
  22. # k-means cluster
  23. def kmeans(dataSet, k):
  24. numSamples = dataSet.shape[0]
  25. # first column stores which cluster this sample belongs to,
  26. # second column stores the error between this sample and its centroid
  27. clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
  28. clusterChanged = True
  29. ## step 1: init centroids
  30. centroids = initCentroids(dataSet, k)
  31. while clusterChanged:
  32. clusterChanged = False
  33. ## for each sample
  34. for i in xrange(numSamples):
  35. minDist  = 100000.0
  36. minIndex = 0
  37. ## for each centroid
  38. ## step 2: find the centroid who is closest
  39. for j in range(k):
  40. distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
  41. if distance < minDist:
  42. minDist  = distance
  43. minIndex = j
  44. ## step 3: update its cluster
  45. if clusterAssment[i,
    0] != minIndex:
  46. clusterChanged = True
  47. clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2
  48. ## step 4: update centroids
  49. for j in range(k):
  50. pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,
    0].A == j)[0]]
  51. centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis =
    0)
  52. print 'Congratulations, cluster complete!'
  53. return centroids, clusterAssment
  54. # show your cluster only available with 2-D data
  55. def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
  56. numSamples, dim = dataSet.shape
  57. if dim != 2:
  58. print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
  59. return 1
  60. mark = ['or', 'ob',
    'og', 'ok',
    '^r', '+r',
    'sr', 'dr',
    '<r', 'pr']
  61. if k > len(mark):
  62. print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
  63. return 1
  64. # draw all samples
  65. for i in xrange(numSamples):
  66. markIndex = int(clusterAssment[i,
    0])
  67. plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i,
    1], mark[markIndex])
  68. mark = ['Dr', 'Db',
    'Dg', 'Dk',
    '^b', '+b',
    'sb', 'db',
    '<b', 'pb']
  69. # draw the centroids
  70. for i in range(k):
  71. plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i,
    1], mark[i], markersize = 12)
  72. plt.show()
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email : zouxy09@qq.com
################################################# from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt # calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2))) # init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
numSamples, dim = dataSet.shape
centroids = zeros((k, dim))
for i in range(k):
index = int(random.uniform(0, numSamples))
centroids[i, :] = dataSet[index, :]
return centroids # k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
numSamples = dataSet.shape[0]
# first column stores which cluster this sample belongs to,
# second column stores the error between this sample and its centroid
clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
clusterChanged = True ## step 1: init centroids
centroids = initCentroids(dataSet, k) while clusterChanged:
clusterChanged = False
## for each sample
for i in xrange(numSamples):
minDist = 100000.0
minIndex = 0
## for each centroid
## step 2: find the centroid who is closest
for j in range(k):
distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
if distance < minDist:
minDist = distance
minIndex = j ## step 3: update its cluster
if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
clusterChanged = True
clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2 ## step 4: update centroids
for j in range(k):
pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0) print 'Congratulations, cluster complete!'
return centroids, clusterAssment # show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
numSamples, dim = dataSet.shape
if dim != 2:
print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
return 1 mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
if k > len(mark):
print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
return 1 # draw all samples
for i in xrange(numSamples):
markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex]) mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
# draw the centroids
for i in range(k):
plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12) plt.show()

三、测试结果

测试数据是二维的,共80个样本。有4个类。如下:

testSet.txt

  1. 1.658985    4.285136
  2. -3.453687   3.424321
  3. 4.838138    -1.151539
  4. -5.379713   -3.362104
  5. 0.972564    2.924086
  6. -3.567919   1.531611
  7. 0.450614    -3.302219
  8. -3.487105   -1.724432
  9. 2.668759    1.594842
  10. -3.156485   3.191137
  11. 3.165506    -3.999838
  12. -2.786837   -3.099354
  13. 4.208187    2.984927
  14. -2.123337   2.943366
  15. 0.704199    -0.479481
  16. -0.392370   -3.963704
  17. 2.831667    1.574018
  18. -0.790153   3.343144
  19. 2.943496    -3.357075
  20. -3.195883   -2.283926
  21. 2.336445    2.875106
  22. -1.786345   2.554248
  23. 2.190101    -1.906020
  24. -3.403367   -2.778288
  25. 1.778124    3.880832
  26. -1.688346   2.230267
  27. 2.592976    -2.054368
  28. -4.007257   -3.207066
  29. 2.257734    3.387564
  30. -2.679011   0.785119
  31. 0.939512    -4.023563
  32. -3.674424   -2.261084
  33. 2.046259    2.735279
  34. -3.189470   1.780269
  35. 4.372646    -0.822248
  36. -2.579316   -3.497576
  37. 1.889034    5.190400
  38. -0.798747   2.185588
  39. 2.836520    -2.658556
  40. -3.837877   -3.253815
  41. 2.096701    3.886007
  42. -2.709034   2.923887
  43. 3.367037    -3.184789
  44. -2.121479   -4.232586
  45. 2.329546    3.179764
  46. -3.284816   3.273099
  47. 3.091414    -3.815232
  48. -3.762093   -2.432191
  49. 3.542056    2.778832
  50. -1.736822   4.241041
  51. 2.127073    -2.983680
  52. -4.323818   -3.938116
  53. 3.792121    5.135768
  54. -4.786473   3.358547
  55. 2.624081    -3.260715
  56. -4.009299   -2.978115
  57. 2.493525    1.963710
  58. -2.513661   2.642162
  59. 1.864375    -3.176309
  60. -3.171184   -3.572452
  61. 2.894220    2.489128
  62. -2.562539   2.884438
  63. 3.491078    -3.947487
  64. -2.565729   -2.012114
  65. 3.332948    3.983102
  66. -1.616805   3.573188
  67. 2.280615    -2.559444
  68. -2.651229   -3.103198
  69. 2.321395    3.154987
  70. -1.685703   2.939697
  71. 3.031012    -3.620252
  72. -4.599622   -2.185829
  73. 4.196223    1.126677
  74. -2.133863   3.093686
  75. 4.668892    -2.562705
  76. -2.793241   -2.149706
  77. 2.884105    3.043438
  78. -2.967647   2.848696
  79. 4.479332    -1.764772
  80. -4.905566   -2.911070
1.658985	4.285136
-3.453687 3.424321
4.838138 -1.151539
-5.379713 -3.362104
0.972564 2.924086
-3.567919 1.531611
0.450614 -3.302219
-3.487105 -1.724432
2.668759 1.594842
-3.156485 3.191137
3.165506 -3.999838
-2.786837 -3.099354
4.208187 2.984927
-2.123337 2.943366
0.704199 -0.479481
-0.392370 -3.963704
2.831667 1.574018
-0.790153 3.343144
2.943496 -3.357075
-3.195883 -2.283926
2.336445 2.875106
-1.786345 2.554248
2.190101 -1.906020
-3.403367 -2.778288
1.778124 3.880832
-1.688346 2.230267
2.592976 -2.054368
-4.007257 -3.207066
2.257734 3.387564
-2.679011 0.785119
0.939512 -4.023563
-3.674424 -2.261084
2.046259 2.735279
-3.189470 1.780269
4.372646 -0.822248
-2.579316 -3.497576
1.889034 5.190400
-0.798747 2.185588
2.836520 -2.658556
-3.837877 -3.253815
2.096701 3.886007
-2.709034 2.923887
3.367037 -3.184789
-2.121479 -4.232586
2.329546 3.179764
-3.284816 3.273099
3.091414 -3.815232
-3.762093 -2.432191
3.542056 2.778832
-1.736822 4.241041
2.127073 -2.983680
-4.323818 -3.938116
3.792121 5.135768
-4.786473 3.358547
2.624081 -3.260715
-4.009299 -2.978115
2.493525 1.963710
-2.513661 2.642162
1.864375 -3.176309
-3.171184 -3.572452
2.894220 2.489128
-2.562539 2.884438
3.491078 -3.947487
-2.565729 -2.012114
3.332948 3.983102
-1.616805 3.573188
2.280615 -2.559444
-2.651229 -3.103198
2.321395 3.154987
-1.685703 2.939697
3.031012 -3.620252
-4.599622 -2.185829
4.196223 1.126677
-2.133863 3.093686
4.668892 -2.562705
-2.793241 -2.149706
2.884105 3.043438
-2.967647 2.848696
4.479332 -1.764772
-4.905566 -2.911070

测试代码:

test_kmeans.py

  1. #################################################
  2. # kmeans: k-means cluster
  3. # Author : zouxy
  4. # Date   : 2013-12-25
  5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
  6. # Email  : zouxy09@qq.com
  7. #################################################
  8. from numpy import *
  9. import time
  10. import matplotlib.pyplot as plt
  11. ## step 1: load data
  12. print "step 1: load data..."
  13. dataSet = []
  14. fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
  15. for line in fileIn.readlines():
  16. lineArr = line.strip().split('\t')
  17. dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
  18. ## step 2: clustering...
  19. print "step 2: clustering..."
  20. dataSet = mat(dataSet)
  21. k = 4
  22. centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)
  23. ## step 3: show the result
  24. print "step 3: show the result..."
  25. showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email : zouxy09@qq.com
################################################# from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt ## step 1: load data
print "step 1: load data..."
dataSet = []
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
lineArr = line.strip().split('\t')
dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) ## step 2: clustering...
print "step 2: clustering..."
dataSet = mat(dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k) ## step 3: show the result
print "step 3: show the result..."
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是:

不同的类用不同的颜色来表示,其中的大菱形是对应类的均值质心点。

四、算法分析

k-means算法比较简单,但也有几个比较大的缺点:

(1)k值的选择是用户指定的,不同的k得到的结果会有挺大的不同,如下图所示,左边是k=3的结果,这个就太稀疏了,蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果,可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的:

(2)对k个初始质心的选择比较敏感,容易陷入局部最小值。例如,我们上面的算法运行的时候,有可能会得到不同的结果,如下面这两种情况。K-means也是收敛了,只是收敛到了局部最小值:

(3)存在局限性,如下面这种非球状的数据分布就搞不定了:

(4)数据库比较大的时候,收敛会比较慢。

k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到,并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题(1)对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布,如重心和密度等,然后选择合适的k。而对问题(2),有人提出了另一个成为二分k均值(bisecting k-means)算法,它对初始的k个质心的选择就不太敏感,这个算法我们下一个博文再分析和实现。

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