扩展GCD 中国剩余定理(CRT) 乘法逆元模版
extend_gcd:
已知 a,b (a>=0,b>=0)
求一组解 (x,y) 使得 (x,y)满足
gcd(a,b) = ax+by
以下代码中d = gcd(a,b)。顺便求出gcd
能够扩展成求等式 ax+by = c,但c必须是d的倍数才有解,即 (c%gcd(a,b))==0
注意求出的 x,y 可能为0或负数
===================================
乘法逆元:
a*b %n == 1
已知 a, n, 求b 就是乘法逆元
===================================
中国剩余定理:
给定方程组:
x%a[0] = m[0]
x%a[1] = m[1]
···
x%a[n-1] = m[n-1]
求变量x 的值
m必须互质
当m不互质时用合并方程的做法:
(合并方程的原因:当我们把n条方程合并成1条时就是extend能求的了,extend能求一条方程的解
问题描写叙述:给出bi。ni的值。且n1, n2, n3,…, ni两两之间不一定互质,求Res的值?
解:採用的是合并方程的做法。
这里将以合并第一第二个方程为例进行说明
由上图前2个方程得(设k1、k2为某一整数):
所以我们简化一下结论:
已知方程组(b1,b2,n1,n2是已知量):
res%b1 = n1
res%b2 = n2
->
合并两条方程得到:
res % ( (n1*n2)/d ) = b1+n1*( K%(n2/d))
当中K = (k1*(b2-b1)/d) % (n2/d);
当中d = gcd(n1,n2);
当中k1:
k1*n1 - k2*n2 = b2-b1
k1,d 能够直接由extend_gcd得到 extend_gcd(n1,n2,d,k1,k2);
(b2-b1)%d == 0 说明extend跑出的k1是一个解。否则说明不存在满足解的k1
注意求K时:为了得到最小非负整数K,所以用一个取模的技巧
K = (K%mod+mod)%mod;
例题及题解:点击打开链接
==================================
若 a == b (mod n)
能推出以下2条等式
1: (a+c) == b+c (mod n)
2:ac == bc (mod n) (但 ac==bc(mod n) 不能推出 a==b(mod n))
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define ll __int64
ll gcd(ll a, ll b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}
void extend_gcd (ll a , ll b , ll& d, ll &x , ll &y) {
if(!b){d = a; x = 1; y = 0;}
else {extend_gcd(b, a%b, d, y, x); y-=x*(a/b);}
}
ll china(ll l, ll r, ll *m, ll *a){ //下标[l,r] 方程x%m=a;
ll lcm = 1;
for(ll i = l; i <= r; i++)lcm = lcm/gcd(lcm,m[i])*m[i];
for(ll i = l+1; i <= r; i++) {
ll A = m[l], B = m[i], d, x, y, c = a[i]-a[l];
extend_gcd(A,B,d,x,y);
if(c%d)return -1;
ll mod = m[i]/d;
ll K = ((x*c/d)%mod+mod)%mod;
a[l] = m[l]*K + a[l];
m[l] = m[l]*m[i]/d;
}
if(a[l]==0)return lcm;
return a[l];
}
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