[luogu1447 NOI2010] 能量采集 (容斥原理)
Description
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示,其中x的范围是1至n,表示是在第x列,y的范围是1至m,表示是在第x列的第y棵。
由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是(0, 0)。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物,则能 量的损失为2k + 1。例如,当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时,由于连接线段上存在一棵植物(1, 2),会产生3的能量损失。注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子,其中n = 5,m = 4,一共有20棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中,总共产生了36的能量损失。
Input
仅包含一行,为两个整数n和m。
Output
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。
Sample Input
【样例输入1】
5 4
【样例输入2】
3 4
Sample Output
【样例输出1】
36
【样例输出2】
20
HINT
对于100%的数据:1 ≤ n, m ≤ 100,000。
Solution
主要是求
首先考虑n==m的情况,枚举最大公因数d ,那么 \(以d为最大公约数的点对数量=n/d以内互质的点对数量=phi(n/d)前缀和*2-1\) ,直接线性搞定~
再考虑n!=m的情况,仍然枚举最大公因数d,这次我们无法直接考虑以d为最大公约数的点对,但易知以d为公约数的点对共有 \((n/d)*(m/d)\) 个,只需利用容斥原理,将最大公约数为2d、3d、4d。。。。。。的全部减去即可
PS:若求出以后值为ans那么本题值为\(2*ans-n*m\)但这样会爆long long 所以要进行变形(见代码)
Code
//By Menteur_Hxy
#include<cstdio>
long long n,m,ans,f[100010];
int main() {
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n>m) n^=m^=n^=m;
for(register int i=n;i;i--) {
f[i]=(long long)(n/i)*(m/i);
for(register int j=i<<1;j<=n;j+=i) f[i]-=f[j];
ans+=((i<<1)-1)*f[i];//防爆long long
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
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