【u004】数列

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【问题描述】

有这样一种数列A1、A2、A3、……An，其中A1=0，且对任意一项Ai满足|Ai-A(i+1)|=1（1<=i<n）。设S=A1+A2+A3+……+An，表示前n项之和。 现在给出数列长度n与数列前n项之和S，要求： 输出满足条件的数列的总数。 

输出满足条件的100个数列（如果不满100个就全部输出）。

【输入格式】

一行，包含两个整数n和S（1<=n<=100），用1个空格隔开。

【输出格式】

第1行一个整数t（0<=t<=263-1），表示满足条件的数列总数。 接下来每行输出一个数列，数列各项之间用一个空格隔开。 若满足条件的数列数目不满100个，全部输出即可。

Sample Input

4 0

Sample Output

2
0 -1 0 1
0 1 0 -1

【题解】

设f[i][j]为前n个数，组成和为s的方案数。

f[i+1][j+i] =f[i+1][j+i]+ f[i][j];

f[i+1][j-i] =f[i+1][j-i]+ f[i][j];

更新的时候这样更新

for (int i = 1;i <= n;i++)

for (int j = -9999;j <= 10000;j++)

if (f[i][j] > 0)

{

f[i+1][j+i] =f[i+1][j+i]+ f[i][j];

f[i+1][j-i] =f[i+1][j-i]+ f[i][j];

}

//先忽略数组下标是负的这个问题。

首先是边界问题。

f[1][0] = 1;{0}

f[2][1] = 1;{0,1}

f[2][-1] = 1;{0,-1}

比如我们现在枚举到

i = 2;j = 1;

j+i== 3;

f[3][3] = f[3][3] + f[2][1];

为什么？

f[2][1]->{0,1};

这里我们进行的操作相当于在0和1之间插入一个数字1.

然后原来的1递增。

即{0,1,2} 也即f[3][3];

然后j-i==-1;

f[3][-1] =f[3][-1]+f[2][1];

为什么？

f[2][1]->{0,1};

这里我们进行的操作相当于在0和1之间插入一个数字-1；

然后原来的1要递减才能满足|a[n]-a[n+1]|==1;

即{0,-1,0}也即f[3][-1];

再往下举例子；

i = 4,j==6;

{0,1,2,3};

对应状态f[4][6];

然后j+i==10;

则f[5][10] = f[5][10]+f[4][6];

为什么？

f[4][6]->{0,1,2,3};

这里我们相当于在0和1之间插入一个1.然后把1,2,3都递增1；

也即{0,1,2,3,4}；也即f[5][10];

然后j-i ==2;

则f[5][2] = f[5][2]+f[4][6];

为什么？

f[4][6]->{0,1,2,3}

这里我们相当于在0和1之间插入一个-1.然后原来的其他数字全都递减1.

即{0,-1,0,1,2}；也即f[5][2];

加深理解:

每次进行枚举序列的时候必然要对第i号元素做出决策。

决策的内容就是当前数字比前一个数字大1还是小1；

假设我们每个阶段做出的决策为what[i] ∈{-1,1}；

则题目的要求就是

(0+what[1]) + (0+what[1]+what[2]) + (0+what[1]+what[2]+what[3])+..+

(0+what[1]+what[2]+..+what[n-1]) == s

可以合并同类项为

what[n-1]+2*what[n-2]+3*what[n-3]+..+(n-1)*what[1] == s;

然后what[i]只能为1或-1

则原问题转化为

0口1口2口3口4口..口(n-1) == s

其中的口要填入减号或加号。

这个动规就比较好写了

f[i][j] = f[i-1][j-(i-1)]+f[i-1][j+(i-1)];

//等号右边分别表示最后一个口做加法和做减法的情况；

这也是我们上面那种解释的写法。只不过变成顺推了而已。

f[i+1][j+i] += f[i][j]

我们插入1和插入-1到a[1]和a[2]之间。

原本是

0+(0+what[1]) + (0+what[1]+what[2]) + (0+what[1]+what[2]+what[3])+..+

(0+what[1]+what[2]+..+what[i-1]) == j

我们插入一个1之后就变成这样了

0+(0+1)+(0+what[1]+1)+(0+what[1]+what[2]+1)+(0+what[1]+what[2]+what[3]+1)

+..+(0+what[1]+what[2]+..+what[i-1]+1) == j + i

//what下标从1..i-1，然后a[2]变成(0+1)还有一个1.所以总共是i个1.

而这是一个符合要求的序列！

插入-1同理。只不过右边变成j-i了。

然后要输出100个方案的时候。就可以按照上面说的原理。即在第1和第2个数字之间插入1个1或者-1。来获取方案。(用f[i][j]数组来剪枝！)

总和的话1+..+100 为5050.然后考虑到下标会出现i+j的情况。你直接开到10000就好。

数组下标为负数的话 就直接加上20000；

即数组开为f[101][20001];

【代码】

#include <cstdio>
 
int n, s,what[101],sum;
__int64 f[101][20001] = { 0 };//如果下标为负数就直接加上20000；
__int64 tot;
 
void solve(int);
 
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &s);//输入n和s
	f[1][0] = 1;//第一个数字为0
	for (int i = 1;i <= n-1;i++)//枚举前i个数字
		for (int tj = -9999; tj <= 10000; tj++)//枚举总和。
		{
			int j = tj;
			if (j < 0) //小于0就直接加上20000
				j += 20000;
			if (f[i][j] <= 0) //如果不能到达这个状态就跳过。
				continue;
			int temp = tj + i ;//这是在第1和第2个数字之间插入一个1的情况,原来的其他数字就都要加上1
			if (temp < 0) //同理，小于0就加20000；
				temp += 20000;
			f[i + 1][temp] += f[i][j];//递增答案。
			temp = tj - i;//这是在第1和第2个数字之间插入一个-1的情况，原来的其他数字就都要减去1了。
			if (temp < 0)
				temp += 20000;
			f[i + 1][temp] += f[i][j];//递增相应的答案即可。
		}
	if (s < 0) //为下标小于0特判
		printf("%I64d\n", f[n][s + 20000]);
	else
		printf("%I64d\n", f[n][s]);
	sum = s;//这是当前的和。我们采用递减的方式让sum一直减到0且到达了第一个数字。
	if (s < 0) //这是所需要输出的方案数。
		tot = f[n][s + 20000];
	else
		tot = f[n][s];
	if (tot > 100)//大于100就直接为100;
		tot = 100;
	solve(n);//输出方案。
	return 0;
}
 
void solve(int now)
{
	if (now == 1 && sum == 0)//如果已经到了第一个元素(即0),且sum也从s减到了0.则我们
	{//搜索的这个方案是可行的。
		tot--;//找到了这个方案。方案数递减。
		printf("0");//第一个数字肯定是0
		int kk = 0; //第一个数字是0
		for (int i = n; i >= 2; i--)//我们是把后面出现的数字插入到a[1]和a[2]之间。
		{//所以进行的操作是从后往前的。
			kk += what[i]; //对初始数字(一开始kk==a[1]==0)进行递增或递减操作。
			printf(" %d", kk);//输出kk。
		}
		printf("\n");
		return;
	}
	if (tot == 0)//如果要求的方案数都输出了。则退出
		return;
	int tt = sum;
	if (tt < 0)
		tt += 20000;
	if (f[now][tt] == 0)//如果前now个数和为tt的情况不存在则退出。
		return;//这是一个很棒的剪枝。
	what[now] = -1;//表示当前的状态是插入一个-1得来的。
	sum += (now - 1);//然后它之前的状态当然就是把-1去掉。然后和要相应的递增。
	solve(now - 1);//然后往前继续枚举，要注意一定要先枚举-1的情况(可以看样例输出。这是顺序问题);
	sum -= (now - 1);//回溯
 
	what[now] = 1;//表示当前这个状态是插入一个1得来的。
	sum -= (now-1);//则它之前的状态就是把这个1去掉。其他数字相应也要减去1(now-1个1)；
	solve(now - 1);//往前继续枚举。
	sum += (now - 1);//回溯。
}