BZOJ3309 DZY Loves Math（莫比乌斯反演+线性筛）

　　一通正常的莫比乌斯反演后，我们只需要求出g(n)=Σf(d)*μ(n/d)的前缀和就好了。

　　考虑怎么求g(n)。当然是打表啊。设n=∏p_i^a_i，n/d=∏p_i^b_i 。显然若存在b_i>1则这个d没有贡献。考虑b_i为0和1两种情况。如果只看a_i最小的质因子的选取情况，会发现大部分情况下其是0还是1，对f的取值是没有影响的，但会使μ取反，于是就抵消为0。而特殊情况即为所有a_i均相同，此时若所有b_i都取1会使f减少。与一般情况比较可以得到此时g(n)=(-1)^{质因子个数+1}。

　　然后就可以线性筛了。记录一下n去掉最小质因子后的数及最小质因子的幂次就可以了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=,f=;char c=getchar();
    while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}
    while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
    return x*f;
}
#define N 10000010
int T,prime[N],f[N],p[N],c[N],v[N],cnt=;
bool flag[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj3309.in","r",stdin);
    freopen("bzoj3309.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    T=read();
    flag[]=1;p[]=;c[]=;f[]=;
    for (int i=;i<=N-;i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++cnt]=i,p[i]=,c[i]=,f[i]=;
        for (int j=;j<=cnt&&prime[j]*i<=N-;j++)
        {
            int t=prime[j]*i;
            flag[t]=;
            if (i%prime[j]==)
            {
                p[t]=p[i];
                c[t]=c[i]+;
                if (c[p[i]]==) f[t]=;
                else f[t]=(c[t]==c[p[i]]?-f[p[i]]:);
                break;
            }
            p[t]=i;
            c[t]=;
            if (c[i]==) f[t]=;
            else f[t]=(c[i]==?-f[i]:);
        }
    }
    for (int i=;i<=N-;i++) f[i]+=f[i-];
    while (T--)
    {
        int n=read(),m=read();
        long long ans=;
        for (int i=;i<=min(n,m);i++)
        {
            int t=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1ll*(f[t]-f[i-])*(n/i)*(m/i);
            i=t;
        }
        printf(LL,ans);
    }
    return ;
}