[gym100956]Problem J. Sort It! BIT+组合数

source : Pertozavodsk Winter Training Camp 2016 Day 1: SPb SU and SPb AU Contest, Friday, January 29, 2016

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题意：

有一个1~n的全排列p1~pn，问有多少个长度为n的数组，满足

1.数组中每个元素均为1~n的正整数

2.按照全排列的顺序，i从1到n，依次将数组中等于pi的元素拿出来放在新数组末端，完成后新数组为有序的。

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题解：

样例

3

2 1 3

含1个不同元素的数组：

　　1：1个

　　2：1个

　　3：1个

含2个不同元素的数组：

　　2,3：2^3-1个

　　1,3：2^3-1个

解法：

求出原排列中长度为1~n的上升子序列有多少个，记为len[i]；

求出严格含1~n个不同元素的n位的数组有多少种，记为f[i];

则ans = sigma(len[i]*f[i])

求len[i]：递推，已知以第j位为结尾的长度为x的上升子序列有sum_prelen[j]个，则以第i位为结尾长度为x+1的上升子序列数量=sigma(sum_prelen[1~i-1])。用树状数组维护。

求f[i]:f[i]=i! - sigma(f[1~i-1])

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代码如下：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 typedef long long LL;
 const int N=;
 const LL mod=(LL)1e9+;
 int n;
 LL c[N],sum_prelen[N],len[N],val[N],jc[N],f[N]; 

 void readin(LL &x)
 {
     x=;bool f=;char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)) {
         f|=(ch=='-');
         ch=getchar();
     }
     while(isdigit(ch)) {
         x=(x<<)+(x<<)+ch-;
         ch=getchar();
     }
     if(f) x=-x;
 }

 void add(LL x,LL d){
     for(int i=x;i<=n;i+=(i&(-i))) c[i]=(c[i]+d)%mod;
 }
 LL getsum(LL x){
     LL ans=;
     for(int i=x;i>=;i-=(i&(-i))) ans=(ans+c[i])%mod;
     return ans;
 }

 LL mypow(LL x,LL y){
     LL ans=;
     while(y)
     {
         if(y&) ans=ans*x%mod;
         x=x*x%mod;
         y>>=;
     }
     return ans;
 }

 LL mod_inverse(LL x,LL n){
     return mypow(x,n-);
 }

 LL cal_C(LL x,LL y){
     // C(x,y)=y!/(x!(y-x)!)
     return jc[y] * mod_inverse(jc[x],mod) % mod * mod_inverse(jc[y-x],mod) % mod;
 }

 int main()
 {
     freopen("a.in","r",stdin);
     scanf("%d",&n);
     for(int i=;i<=n;i++) readin(val[i]);
     for(int i=;i<=n;i++) sum_prelen[i]=;
     len[]=n;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         len[i]=;
         for(int j=;j<=n;j++) c[j]=;
         for(int j=;j<=n;j++)
         {
             LL sum_nowlen=getsum(val[j]-);
             len[i]=(len[i]+sum_nowlen)%mod;
             add(val[j],sum_prelen[j]);
             sum_prelen[j]=sum_nowlen;
         }
     // for(int j=1;j<=n;j++) printf("%lld ",len[j]);printf("\n");
     }

     jc[]=;for(int i=;i<=n;i++) jc[i]=(jc[i-]*((LL)i))%mod;
     f[]=;
     LL ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         f[i]=mypow(i,n);
         for(int j=;j<i;j++)
             f[i]=((f[i]-cal_C(j,i)*f[j]%mod)%mod+mod)%mod;
         ans=(ans+len[i]*f[i]%mod)%mod;
     }

     printf("%I64d\n",ans);
     return ;
 }