Codeforces Round #237 (Div. 2) C. Restore Graph（水构造）

题目大意

一个含有 n 个顶点的无向图，顶点编号为 1~n。给出一个距离数组：d[i] 表示顶点 i 距离图中某个定点的最短距离。这个图有个限制：每个点的度不能超过 k

现在，请构造一个这样的无向图，要求不能有自环，重边，且满足距离数组和度数限制，输出图中的边；如果无解，输出 -1

数据规模：1 ≤ k <  n ≤ 10⁵，0 ≤ d[i] < n

做法分析

第一眼做法：SPFA 或者 BFS，想了想，还是乱搞

根据 d 数组直接构造这个图，因为最短路具有最优子结构，所以，d[i] 为 0 的点只有一个，从 0 到 maxLen 的所有距离，都一定在 d 数组中出现过，然后就考虑度数限制。

显然，距离为 len + 1 的点是由距离为 len 的点到达的，于是，将所有的点按照距离分类。要尽量满足度数限制，每个点的度数就要尽量少，所以，距离相同的点之间不能有边。于是，构造出来的解中，所有的边 (u, v) 一定满足这样的性质：d[u] == d[v] + 1（假设 d[u] > d[v]），这让我想起了 ISAP 求最大流的 gap 优化

然后，怎么保证每个点都尽量满足度数限制呢？平均分配

将距离为 len + 1 的点平均分配到距离为 len 的点里面去，这样一定是最优的，如果这样都不满足度数限制，肯定无解了

参考代码

 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>

 using namespace std;

 const int N = ;

 int k, n, d[N];
 vector <int> len[N];
 vector < pair <int, int> > edge;

 int main() {
     scanf("%d%d", &n, &k);
     for (int i = ; i <= n; i ++) len[i].clear();
     for (int i = ; i <= n; i ++) {
         scanf("%d", &d[i]);
         len[d[i]].push_back(i);
     }
     if (len[].size() != ) {
         printf("-1\n");
         return ;
     }
     int maxLen = n;
     for (; len[maxLen].size() == ; maxLen --);
     for (int i = ; i <= maxLen; i ++) {
         if (len[i].size() == ) {
             printf("-1\n");
             return ;
         }
     }
     edge.clear();
     for (int i = ; i <= maxLen; i ++) {
         int cnt1 = (int)len[i - ].size();
         int cnt2 = (int)len[i].size();
         int cnt = cnt2 / cnt1 + (cnt2 % cnt1 != );
         if (cnt + (i -  != ) > k) {
             printf("-1\n");
             return ;
         }
         for (int id1 = , id2 = ; id1 < cnt1 && id2 < cnt2; id1 ++) {
             for (; id2 < (id1 + ) * cnt && id2 < cnt2; id2 ++) {
                 edge.push_back(make_pair(len[i - ][id1], len[i][id2]));
             }
         }
     }
     int cnt = (int)edge.size();
     printf("%d\n", cnt);
     for (int i = ; i < cnt; i ++) {
         printf("%d %d\n", edge[i].first, edge[i].second);
     }
     return ;
 }

C. Restore Graph

题目链接

C. Restore Graph