Luogu P2657 [SCOI2009]windy数

一道比较基础的数位DP，还是挺套路的。

首先看题，发现这个性质和数的大小无关，因此我们可以直接数位DP，经典起手式：

\(f[a,b]=f(b)-f(a-1)\)

然后考虑如何求解\(f(x)\)。我们首先可以在不考虑数的大小的情况下得出长为\(i\)位且以数字\(j\)开头的windy数字个数。

这个还是很好求的，我们设\(f_{i,j}\)，然后每一位从上一位转移即可。

然后考虑如何统计，我们把要统计的数分成三类：

1. 位数比原来的数小的，且开头不能为\(0\)的数的总数。这个直接累加即可。
2. 位数和原来的数一样，但开头的数字比原来的数字小的数的总数。由于这样后面也可以随便取，因此累加即可。
3. 位数和原来的数一样，且开头的数字也一样的数的总数。这个就比较难求了。我们考虑枚举后面的每一位，在不填到最高位的情况下都可以继续累加。然后我们假定这一位也到达了最高位，然后继续统计即可。

注意在统计第三种数时要注意若此时相邻的两个数的最高位只差小于\(2\)需要直接退出。

最后我们发现这个只能统计所以小于\(x\)的windy数。因此我们把原来的起手式变成\(f(b+1)-f(a)\)即可。

CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int a,b,bit[15],cnt;
long long f[15][10];
inline int abs(int x)
{
    return x>0?x:-x;
}
inline void init(void)
{
    register int i,j,k;
    for (i=0;i<=9;++i)
    f[1][i]=1;
    for (i=2;i<=10;++i)
    for (j=0;j<=9;++j)
    for (k=0;k<=9;++k)
    if (abs(j-k)>=2) f[i][j]+=f[i-1][k];
}
inline void solve(int x)
{
    while (x) bit[++cnt]=x%10,x/=10;
}
inline long long get(int x)
{
    register int i,j,k,w; long long ans=0;
    cnt=0; solve(x);
    for (i=1;i<cnt;++i)
    for (j=1;j<=9;++j)
    ans+=f[i][j];
    for (i=1;i<bit[cnt];++i)
    ans+=f[cnt][i];
    for (i=cnt-1;i>=1;--i)
    {
        for (j=0;j<bit[i];++j)
        if (abs(j-bit[i+1])>=2) ans+=f[i][j];
        if (abs(bit[i]-bit[i+1])<2) break;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&a,&b); init();
    printf("%lld",get(b+1)-get(a));
    return 0;
}