图论篇3——最短路径 Dijkstra算法、Floyd算法

最短路径

问题背景：地图上有很多个城市，已知各城市之间距离（或者是所需时间，后面都用距离了），一般问题无外乎就是以下几个：

• 从某城市到其余所有城市的最短距离【单源最短路径】
• 所有城市之间相互的最短距离【任意两点最短路径】
• 各城市距离一致，给出需要最少中转方案 【最少中转】

深度优先搜索

适用范围：啥都不适用，只能处理n<10的情况

深搜求最短路径的思想和用深搜迷宫寻路有一点像，找出所有的从起点到目标点的路径，选出其中最短的一条。

此算法仅供娱乐参考，实际不会用它的，因为算法复杂度是$O(n!)$

深度优先搜索：

const int inf =  << ;

int M[][];
bool fuck[];
int n, res;

//cur-当前所在城市编号，dis-当前已走过的路径
void dfs(int cur, int dis) {
    //若当前的路径值已比之前找到的最短路大，没必要继续往下搜索了，其实没什么必要，深搜本来就属于暴力算法，这个小优化属于杯水车薪
    if (dis > res)
        return;
    //当前已到达目的城市，更新min
    if (cur == n) {
        res = min(res, dis);
        return;
    }

    //对1~n号城市依次尝试
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        //若cur与i之间有路，且i没有在已走过的路径中
        if (M[cur][i] != inf && !fuck[i]) {
            fuck[i] = true; //标记i为已走的路径
            dfs(i, dis + M[cur][i]); //继续搜索
            fuck[i] = false; //回溯
        }
    }
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cstdio>
#include <queue>

using namespace std;
const int inf =  << ;

int M[][];
int path[];
bool fuck[];
int n, m, res = inf, cnt;

//cur-当前所在城市编号，dis-当前已走过的路径
void dfs(int cur, int dis,int destination,int k) {
    //若当前的路径值已比之前找到的最短路大，没必要继续往下搜索了，其实没什么必要，深搜本来就属于暴力算法，这个小优化属于杯水车薪
    //if (dis > res)
    //    return;
    //当前已到达目的城市，更新min
    if (cur == destination) {
        res = min(res, dis);
        //cnt++;
        for (int i = ; i < k; i++) {
            cout << path[i] << ' ';
        }
        cout << endl;
        return;
    }

    //对1~n号城市依次尝试
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        //若cur与i之间有路，且i没有在已走过的路径中
        if (M[cur][i] !=  && M[cur][i] != inf && !fuck[i]) {
            fuck[i] = true; //标记i为已走的路径
            path[k] = i;
            dfs(i, dis + M[cur][i], destination, k + ); //继续搜索
            fuck[i] = false; //回溯
        }
    }
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    fstream cin("data.in");
#endif // LOCAL
    cin >> n >> m;
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = ; j <= n; j++) {
            if (i != j)
                M[i][j] = inf;
        }
    }

    for (int i = ; i < m; i++) {
        int c1, c2, c3;
        cin >> c1 >> c2 >> c3;
        M[c1][c2] = c3;
        M[c2][c1] = c3;
    }
    cnt = ;
    res = inf;
    fuck[] = true;
    path[] = ;
    dfs(, , , );

    return ;
}

完整测试代码

宽度优先搜索

适用范围：最少中转方案，处理n的级别看脸

假如现在是最少中转方案问题（或者所有边的权值一致） ，问从城市1到城市4需要经过的最少中转城市个数。

这类问题和宽搜求迷宫的最短路径思想完全一样，从开始点逐层扩展，找到目标停止。

宽搜的算法复杂度也是$O(n!)$，不过看脸，如果在前面几层就找到目标了，就比较快。

也就是目标点需要中转几次，如果一次都不要中转，那么第二层就能搜索到；如果需要中转n-2次，那就得搜索到最后一层，就也是$O(n!)$了

宽度优先搜索：

int M[][];
int path[];
bool fuck[];
int n, m, res = inf, cnt;

int bfs(int start, int destination){
    queue<pair<int, int>> q; //城市编号、当前是第几座城市
    q.push({ start, }); //把起始点加入队列
    fuck[start] = true; //标记为已在路径中
    while (!q.empty()){
        int cur = q.front().first, dis = q.front().second;
        q.pop();
        for (int i = ; i <= n; i++) {
            //如果当前点到i点有路，并且当前还没有加入队列中
            if (M[cur][i] != inf && !fuck[i]) {
                    q.push({ i,dis +  });
                    fuck[i] = true;
                    if (i == destination) //如果发现了目标点
                        return dis;//这里具体是算多少步看题目咋问了
            }
        }
    }
}

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <fstream>
#include <cstdio>
#include <queue>

using namespace std;
const int inf =  << ;

int M[][];
int path[];
bool fuck[];
int n, m, res = inf, cnt;

int bfs(int start, int destination){
    queue<pair<int, int>> q; //城市编号、当前是第几座城市
    q.push({ start, }); //把起始点加入队列
    fuck[start] = true; //标记为已在路径中
    while (!q.empty()){
        int cur = q.front().first, dis = q.front().second;
        q.pop();
        for (int i = ; i <= n; i++) {
            //如果当前点到i点有路，并且当前还没有加入队列中
            if (M[cur][i] != inf&& !fuck[i]) {
                    q.push({ i,dis +  });
                    fuck[i] = true;
                    if (i == destination) //如果发现了目标点
                        return dis;//这里具体是算多少步看题目咋问了
            }
        }
    }
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    fstream cin("data.in");
#endif // LOCAL
    cin >> n >> m;
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = ; j <= n; j++) {
            if (i != j)
                M[i][j] = inf;
        }
    }

    for (int i = ; i < m; i++) {
        int c1, c2, c3;
        cin >> c1 >> c2 >> c3;
        M[c1][c2] = c3;
        M[c2][c1] = c3;
    }

    cout << bfs(, );

    return ;
}

完整测试代码

这两个算法我觉得算是迷宫寻路算法的延伸，可以看下迷宫寻路问题全解，用在求最短路径中的话，效率太低，无法解决实际问题。

接下来才是重点。

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

适用范围：不含负权边的单源最短路径、最少中转

不含负权边就是所有路径长度大于0，牵扯到负权边，请参考 Bellman-Ford算法

思路图解

维护一个$dis$数组记录起点（按题目要求来，这里取$1$） 到达的所有节点的距离。（规定到自己的路径长度0，到不了的点是 inf（极大值））

找出当前距离$1$最近的结点：$4$。（已经访问过的，我们标记为红色，不再次访问）

借助$4$节点，对$dis$数组进行更新（就是如果结点$1$借助结点$4$到别的结点有更短的路径，就对$dis$数组进行值替换）

找出当前距离$1$最近的结点：$2$。

走到$2$，无法更新$dis$数组，无操作。

找出当前距离$1$最近的结点：$3$。

借助$3$节点，对$dis$数组进行更新，最后走到$5$节点，退出。（实际过程中，走到最后一个节点，别的节点都访问过，进行标记了，什么也不会做）。

这个时候$dis$数组就是从起点$1$到所有节点的最短路径了，如果还有$inf$表示不是连通图。

简单版（邻接矩阵+优先级队列）：

测试题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2544 （数据很弱，建议再做后面一题）

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

const int inf =  << ;
int n, m;
bool book[];
int M[][];
int dis[];

class P {
public:
    int to, dis;
    P(int t, int d) :to(t), dis(d) {}

    bool operator< (P a) const {
        return a.dis < dis;
    }
};

priority_queue<P>q;
void initialize() {
    fill(book, book + n + , false);
    fill(dis, dis + n + , inf);
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = ; j <= n; j++) {
            if (i != j)M[i][j] = inf;
        }
    }
}
void dijkstra() {
    dis[] = ;
    q.push({ ,  });
    while (!q.empty()) {
        int v = q.top().to; q.pop();
        if (book[v])continue;
        book[v] = true;
        for (int i = ; i <= n; i++) {
            if (!book[i] && dis[i] > dis[v] + M[v][i]) {
                dis[i] = dis[v] + M[v][i];
                q.push({ i, dis[i] });
            }
        }
    }
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    fstream cin("data.in");
#endif // LOCAL
    while (cin >> n >> m) {
        if (n ==  && m == )break;
        initialize();
        for (int i = ; i < m; i++) {
            int A, B, C;
            cin >> A >> B >> C;
            M[A][B] = C;
            M[B][A] = C;
        }
        dijkstra();
        cout << dis[n] << endl;
    }
    return ;
}

正式版（邻接表+优先级队列）

测试题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4779

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <queue>
using namespace std;
int dis[];
bool fuck[];
const int inf =  << ;
int n, m, s;
struct ENode {
    int to, dis;
    ENode* next = NULL;
    ENode() {}
    ENode(int t, int d) :to(t), dis(d) {}
    void push(int t, int d) {
        ENode* p = new ENode(t, d);
        p->next = next;
        next = p;
    }

    bool operator<(ENode e)const {
        return e.dis < dis;
    }
}head[];

void dijkstra() {
    priority_queue<ENode>q;
    fill(dis, dis + n + , inf);
    dis[s] = ;
    q.push(ENode(s, ));
    while (!q.empty()) {
        //获得当期距离 源点 最近的点
        int v = q.top().to, d = q.top().dis; q.pop();
        if (fuck[v])continue;
        fuck[v] = true;
        ENode* p = head[v].next;
        while (p) {
            int to = p->to;
            if (!fuck[to] && dis[to] > d + p->dis) {
                dis[to] = d + p->dis;
                q.push(ENode(to, dis[to]));
            }
            p = p->next;
        }
    }

}

int main() {
#ifdef LOCAL
    fstream cin("data.in");
#endif // LOCAL
    int c1, c2, c3;
    cin >> n >> m >> s;
    for (int i = ; i < m; i++) {
        //cin >> c1 >> c2 >> c3;
        scanf("%d%d%d", &c1, &c2, &c3);
        head[c1].push(c2, c3);
    }
    dijkstra();
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        printf("%d ", dis[i]);
    }
    cout << endl;
    return ;
}

提一句如果是要求找最少中转方案，那么就把每个边的权值都设为1，在求最短路径即可。

时间复杂度分析

一般默认迪杰斯特拉算法复杂度为$O(n^2)$，也就是每次从$dis$中获取路径最短的结点，需要花费线性的时间$O(n)$，但这是普通情况下。【$n$为顶点数】使用优先级队列后，从$dis$中获取路径最短的结点只需要$O(logn)$（因为我们用了一个标记数组，所以堆中的数据个数不可能会超过$n$，所以是$O(logn)$，如果没有加这个复杂度是$O(logm)$，m为边的个数）。所以，堆优化的迪杰斯特拉算法时间复杂度为$O((m+n)logn)$。

关于负权边

$Dijkstra$是一种基于贪心策略的算法。每次新扩展一个路径最短的点，更新与它相邻的所有点。当所有边权为正时，由于不会存在一个路程更短的没扩展过的点，所以这个点的路程就确定下来了，这保证了算法的正确性。但也正因为这样，这个算法不能处理负权边，因为扩展到负权边的时候，某个点会产生更短的路径，但可能该点已被标记。

比如这张图，按照Dijkstra算法，假如起点是A，一定会先找到C，并且认为已经找到A到C最短路径，在没有负边的时候是这样的，但现在B到C是-2，这就出现错误了。

Floyd算法

Floyd算法属于动态规划，实现容易，好理解，但缺点就是时间复杂度高是$O(n^3)$。

$M [ j ] [ k ]$ 表示从$ j$ 到 $k$ 的路径，而 $i$ 表示当前 $j$ 到 $k$ 可以借助的点；红色部分表示，如果 $j$ 到 $i$ ，$i$ 到 $k$ 是通的，就将 $j$ 到 $k$ 的值更新为$min(M[j][i] + M[i][k],M[j][k] )$

for (int i = ; i <= n; i++) {
    for (int j = ; j <= n; j++) {
        for (int k = ; k <= n; k++) {
            if (j != k && M[j][i] != inf && M[i][k] != inf)
                M[j][k] = min(M[j][i] + M[i][k], M[j][k]);
        }
    }
}

给个题目链接，可以交试一下：http://www.dotcpp.com/oj/problem1709.html

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;

#define inf 2147483647
int M[][];

int main() {
    int n;
    queue<int>q;
    cin >> n;
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = ; j <= n; j++) {
            cin >> M[i][j];
            if (M[i][j] ==  && i != j)M[i][j] = inf;
        }
    }
    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = ; j <= n; j++) {
            for (int k = ; k <= n; k++) {
                if (M[j][k] != ) {
                    if (M[j][i] != inf && M[i][k] != inf) {
                        M[j][k] = M[j][i] + M[i][k] < M[j][k] ? M[j][i] + M[i][k] : M[j][k];
                    }
                }
            }
        }
    }

    for (int i = ; i <= n; i++) {
        for (int j = ; j <= n; j++) {
            if (M[i][j] == inf)cout << - << " ";
            else
            cout << M[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return ;
}

完整代码

Dijkstra & Floyd 对比

$Dijkstra$算法的复杂度为$O(n^2)$【不考虑堆优化的情况】，如果采用Dijkstra算法来计算图中任两点之间的最短距离，复杂度也为$O(n^3)$，虽然复杂度相同，但是看代码，两个算法运算量差了很多，也就是$Dijkstra$算法输在了常数项。但是堆优化后的$Dijkstra$算法，还是要完全优于$Floyd$算法的。

对比：