SARS病毒 （生成函数 + 快速幂）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/992/A
来源：牛客网

题目描述

目前，SARS 病毒的研究在世界范围内进行，经科学家研究发现，该病毒及其变种的 DNA 的一条单链中，胞嘧啶、腺嘧啶均是成对出现的。这虽然是一个重大发现，但还不是该病毒的最主要特征，因为这个特征实在太弱了。

为了进一步搞清楚该病毒的特征，CN 疾病控制中心和阿里巴巴集团合作，用科技的力量和程序的思维来解决这个难题。现阿里巴巴特委派你成为 CN 疾病控制中心的 SARS 高级研究员，去研究在这个特征下，可能成为 SARS 病毒的 DNA 序列的个数。更精确地说，你需要统计所有满足下列条件的长度为 n 的字符串的个数:

1. 字符串仅由 A、T、C、G 组成
2. A 出现偶数次(也可以不出现)
3. C 出现偶数次(也可以不出现)

当 n=2 时，所有满足条件的字符串有如下 6个:

TT，TG，GT，GG，AA，CC。

注： 由于这个数可能非常庞大，你只需给出对 10^9+7 取模的结果即可。

输入描述:

多组输入（不超过10组）,每行一个整数n:0 < n < 10^10^5

输出描述:

对于输入文件中的每一个 n，输出满足条件的字符串的个数对 10^9 +7 取模的结果。

示例1

输入

1
2
100

输出

2
6
113046907

析：首先这个一个生成函数的题目，从ACGT中可以知道，AC只能出现偶数次，而GT可以奇数，可以偶数，那么列出的生成函数是
前面那个是AC的，后面那个是GT的，这样列出来之后，就只要算出这一项的系数就是答案了。
首先这个直接求是肯定求不出来的，要使用泰勒展式来求。
 
根据上面两个式子，可以对生成函数进行化简，化简后的结果就是
再根据泰勒展式，求出该项的系数。
最终的结果就是，结果看起来很简单啊，但是 n 实在是太大了啊，所以还需要对 n 进行处理。
假设求 2n 这个结果，首先是要对 1e9 + 7 进行取模的，根据欧拉定理 （其中 a 和 p 互质），根据本题来说那就是 
所以 2n %1e9+7就可以进行变形成，变成这样，那么指数就是肯定小于1e9 + 7 了，那么就可以使用快速幂来计算了。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod = 1e9 + 7;
 
inline long long fast_pow(long long a, int n){
    long long res = 1L;
    while(n){
        if(n&1)  res = res * a % mod;
        n >>= 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return res;
}
 
int main(){
    string s;
    while(cin >> s){
        long long ans = 0;
        for(int i = 0; i < s.size(); ++i)
            ans = (ans * 10 + s[i] - '0') % (mod - 1);
        ans = (ans - 2 + mod) % (mod - 1);
        cout << (fast_pow(2, ans) + fast_pow(4, ans)) % mod << endl;
    }
    return 0;
}