luogu题解 P3811 【【模板】乘法逆元】

upd--7.6 原线性求逆元代码有另一种更优写法

• 题目链接：

  https://www.luogu.org/problemnew/show/P3811

• 概念：

  一想到JXOI 2018考场上忘记逆元怎么打就觉得好笑，白白让T1落得如此下场.

  推荐阅读：https://www.luogu.org/blog/zjp-shadow/cheng-fa-ni-yuan

  我们可能经常遇到这样的情况(如JXOI2018 T1)

  计算一个类似\(a/b\)%\(p\)的式子，根据同余性质我们是不能$a \(%p\) /b \(%p\) $这样计算的

  但如果在普通算式中,显然\(a/b\)=\(a*b^-1\)。

  在\(\pmod p\)中的意义下，我们不妨也构造一个\(b^-1\)，使得\(b*b^{-1} \equiv 1 \pmod{p}\);

  那么\(a/b \pmod p \equiv a*b^{-1} \pmod p\)，对于一开始的问题，我们可以放心地将\(a\)%\(p\)，然后乘上\(b\)在\(\pmod p\)意义下的逆元,太方便了

  这就引出了逆元的定义：

  若\(b*x \equiv 1 \pmod{p}\)且\(b,p\)互质,则\(x\)为\(b\)在\(\pmod p\)意义下的逆元 ,记作\(b^-1\)

• 思路：

  算逆元一般有三种算法

  • 拓展欧几里得

    根据定义,若要求\(b\)在\(\pmod p\)意义下的逆元，就是求\(b*x \equiv 1 \pmod{p}\)中的x，转化成线性同余方程\(b*x+p*y=1\),接着就用拓欧跑一遍就好

  • 费马小定理

    若p是质数,则对于任意正整数b，有\(b^{p} \equiv b \pmod{p}\)

    所以\(b^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) 把b继续拆得到

    \(b*b^{p-2} \equiv 1 \pmod{p}\)

    对照上面逆元定义,我们只用求\(b^{p-2} \pmod p\)

  • 线性递推

    设\(p=k*i+r\) 所以\(k=\left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor,r=p \mod i\)

    所以\(k*i+r \equiv 0 \pmod p\) 同时乘以\(i^{-1},r^{-1}\)

    \(k*r^{-1}+i^{-1} \equiv 0 \pmod p\)移项

    \(i^{-1} \equiv -k*r^{-1} \pmod p\)

    \(i^{-1} \equiv -\left \lfloor \frac{p}{i} \right \rfloor*{(p \mod i)}^{-1}\pmod p\)

    我们把所有的逆元存在inv[]数组里,那么

    inv[i]=-((p/i)*inv[p%i]%p);
    while(inv[i]<0)inv[i]+=p;
    

    或者更优的写法

    inv[i]=(ll)(p-(p/i))*inv[p%i]%p;
    

    当然inv[1]=1;

• 代码：

  • 拓欧+费马小定理

include

include

include

include

include

define LL long long

using namespace std;

LL mod(LL a,LL b)

{

if(a<b)return a;

if(a==b)return 0;

else return a-a/b*b;

}

LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p

LL ret = 1;

while(b){

if(b & 1) ret = mod((ret * a) ,p);

a =mod((a * a) ,p);

b >>= 1;

}

return ret;

}

LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元

return pow_mod(a, p-2, p);

}

void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){

if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}

else{

ex_gcd(b, mod(a,b), y, x, d);

y -= x * (a / b);

}

}

LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1

LL d, x, y;

ex_gcd(t, p, x, y, d);

return d == 1 ? (mod(x,p) + p) % p : -1;

}

int main()

{

int op;

LL a,p;

cin>>a>>p;

for(int i=1;i<=a;i++)cout<<inv(i,p)<<endl;

return 0;

}

```

• 线性递推

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cmath>
#deinfe ll long long
using namespace std;
const int maxn=3000005;
int n,p;
ll inv[maxn];
template <class T>inline void read(T &x){
   x=0;int ne=0;char c;
   while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
   x=c-48;
   while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
   x=ne?-x:x;
   return ;
}
inline void make_inv(){
   printf("1\n");   //inv[1];
   for(register int i=2;i<=n;i++){
   	inv[i]=-((p/i)*inv[p%i]%p);
   	while(inv[i]<0)inv[i]+=p;
       printf("%lld\n",inv[i]);
   }
   return ;
}
int main()
{
   read(n),read(p);
   inv[1]=1;
   make_inv();
   return 0;
}