[SDOI2008]山贼集团

题目描述

某山贼集团在绿荫村拥有强大的势力，整个绿荫村由$N$个连通的小村落组成，并且保证对于每两个小村落有且仅有一条简单路径相连。

小村落用阿拉伯数字编号为$1,2,3,4, \dots ,n$，山贼集团的总部设在编号为$1$的小村落中。

山贼集团除了老大坐镇总部以外，其他的$P$个部门希望在村落的其他地方建立分部。

$P$个分部可以在同一个小村落中建设，也可以分别建设在不同的小村落中。每个分部到总部的路径称为这个部门的管辖范围，于是这$P$个分部的管辖范围可能重叠，或者完全相同。

在不同的村落建设不同的分部需要花费不同的费用。每个部门可能对他的管辖范围内的小村落收取保护费，但是不同的分部如果对同一小村落同时收取保护费，他们之间可能发生矛盾，从而损失一部分的利益，他们也可能相互合作，从而获取更多的利益。

现在请你编写一个程序，确定$P$个分部的位置，使得山贼集团能够获得最大的收益。

输入格式

输入文件第一行包含一个整数$N$和$P$，表示绿荫村小村落的数量以及山贼集团的部门数量。

接下来$N-1$行每行包含两个整数$X$和$Y$，表示编号为$X$的村落与编号为$Y$的村落之间有一条道路相连。($1 \le X,Y \le N$)

接下来$N$行，每行$P$个正整数，第$i$行第$j$个数表示在第$i$个村落建设第$j$个部门的分部的花费$A_{i,j}$。

然后有一个正整数$T$，表示下面有$T$行关于山贼集团的分部门相互影响的代价。($0 \le T \le 2 \times p$)

最后有$T$行，每行最开始有一个数$V$，如果$V$为正，表示会获得额外的收益，如果$V$为负，则表示会损失一定的收益。

然后有一个正整数$C$，表示本描述涉及的分部的数量，接下来有$C$个数，$X_i$，为分部门的编号($X_i$不能相同)。

表示如果$C$个分部$X_i$同时管辖某个小村落（可能同时存在其他分部也管辖这个小村落），可能获得的额外收益或者损失的收益为的$|V|$。

$T$行中可能存在一些相同的$X_i$集合，表示同时存在几种收益或者损失。

输出格式

输出文件要求第一行包含一个数$Ans$，表示山贼集团设置所有分部后能够获得的最大收益。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

对于$40%$的数据，$1 \le P \le 6$。

对于$100%$的数据，$1 \le N \le 100$，$1 \le P \le 12$，保证答案的绝对值不超过${10}^8$。

解题报告

算法解析

剖析题意

首先我们分析题意,这道题目其实给了很多关键性的信息,我们可以提取

树上结构
每一个部门有着二进制状态,可以选择,或者不可以选择
数据范围特别小

综上所述,我们不难发现,这道题目与,树型DP,状压DP有着很大的联系.

状压设置

不难设置出,我们应该以$p$进行状压.

唯独他,范围小
分部门的总数

总而言之,状态设计为如下.

\[S:每一个分部门是否选择
\]

.假如说

\[S=1101
\]

那么表示为,选择,$1,3,4$这三个分部门

价值定义

我们发现,题目给出的一个关键地方为,不同分部门之间存在影响

既然如此,我们不妨思考一下,对于每一个状态,他们肯定有一个权值.

而这个权值,必然就是若干个分部门同时选择,产生的价值.

举个栗子

\[1,3分部门选择,价值为5
\]

然后.

\[1,4分部门选择,价值为-3
\]

现在我们选择的状态为.

\[S=1101
\]

那么请问这个状态,它是什么价值呢?

\[val[S]=5-3=2
\]

因此对于这类状态,我们显然是要存储下来他们的价值的.

\[val[S]表示S状态的价值
\]

树型阶段

现在我们这个状态是出现了,但是阶段还没有划分好.

其实树型DP的阶段是最好划分的.

因为它的阶段就是以,父子节点作为分段.

既然如此,我们设计一下.

\[f[i][S]表示在以i为根的子树里，分部门选择状态为S的最大收益
\]

那么这样,我们的状态表示就设置完毕了.

状态转移

状态已经设置完毕,我们现在缺失的就是动态规划的状态转移.

我们先来思考一些问题.

对于一个集合,它会被那些集合转移过来呢?

换句话说,就是有哪些符合条件的$S'$满足下面这个条件

\[S' => S
\]

我们发现.

\[S' \in S
\]

也就是说,$S'$是$S$的子集

从一个集合转移到另外一个集合,代价为什么

我们需要回顾一下定义.

\[val[S]表示S状态的价值
\]

那么既然如此,一个集合状态它的代价,不就是.

\[val[S]
\]

这就是转移的代价,从一个状态到另外一个状态

树上怎么转移

①从儿子节点到父亲节点.

②从子集到当前集合

所以说我们的表达为

\[f[x][S]=f[x][s']+f[son[x]][S \oplus S']
\]

但是对于这个状态表示而言,我们的类型是最大价值,而且一个点有很多个儿子节点

一个节点只能从一个儿子节点转移过来,那么这个儿子必须是价值最高的.

所以变成了.

\[f[x][S]=max(f[x][s],f[x][s']+f[son[x]][S \oplus S'])
\]

之前当前节点的状态集合为$S'$,现在通过儿子上来的转移,现在变成了$S$

那么

\[f[x][S]+=val[s]
\]

然后我们分析上面这些语句.

不难发现,这个和背包问题特别相像

因此,这个转移就是树上背包转移

于是这道题目就是非常有趣的,动态规划算法大杂烩

\[背包DP+状压DP+树型DP=状态转移+状态设计+阶段转移
\]

代码解析

//本题目的算法为,背包DP+树型DP+状压DP,是一道DP的优秀题目

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define lowbit(x) ((x)&(-x))//x的最靠右边的1

const int N=110,S=(1<<12)+3;

int n,p,M,t,a[N][N],f[N][S],val[S];

vector<int> g[N];

inline int tot(int x)//统计x二进制表示下的位数

{

	int cnt=0;

	while(x)

	{

		cnt++;

		x>>=1;

	}

	return cnt;

}

void dfs(int x,int fa)

{

	for(int y:g[x])

	{

		if (y==fa)//防止遍历回到曾经访问过的节点

			continue;

		dfs(y,x);//访问儿子节点,自下往上的转移,这是树型DP的精华

		for(int s=M; s; s--)//遍历所有集合,类似于背包问题的j,从M~1.

			for(int t=s; t; t=t=(t-1)&s)//从子集转移过来

				f[x][s]=max(f[x][s],f[x][s^t]+f[y][t]);//相当于加入第y个物品,它的体积是t

		//也可以认为是 t->s的一种转移

	}

	for(int s=0; s<=M; s++)//遍历所有集合

		f[x][s]+=val[s];//加上这个状态,分部门该有的影响

}

inline void init()

{

	scanf("%d%d",&n,&p);

	M=(1<<p)-1;//所有分部门都安排好该有的状态表示

	for(int i=1; i<n; i++)

	{

		int u,v;

		scanf("%d%d",&u,&v);

		g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);//这里是添加边,以无向图的方式存储

	}

	for(int i=1; i<=n; i++)

	{

		for(int j=1; j<=p; j++)

			scanf("%d",&a[i][j]);

		for(int j=1; j<=M; j++)

			f[i][j]=f[i][j ^ lowbit(j)]-a[i][tot(lowbit(j))];

		//在这里lowbit(j)为j的第一个是1的位置.tot(lowbit(j))这个1所在的位置

	}

	scanf("%d",&t);

	while(t--)

	{

		int v,c,x=0,s=0;

		scanf("%d%d",&v,&c);

		for(int i=1; i<=c; i++)

			scanf("%d",&x),s|=(1<<(x-1));//s表示本次操作收到影响分部门集合

		int p=s^M;//取出所有不受影响的位置

		for(int t=p; t; t=(t-1)&p)

			val[(t|s)]+=v;//所有包含s的集合,都要+v的影响

		val[s]+=v;//完全包含也要+v

	}

	dfs(1,0);

	printf("%d\n",f[1][M]);//1是根节点,M为所有分部门都安排好了,这就是最后的答案

}

signed main()

{

	init();

	return 0;

}