BZOJ1856[Scoi2010]字符串——组合数学+容斥

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入

输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

样例输入

2 2

样例输出

2

提示

【数据范围】
对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

将选$1$看成往右走，选$0$看成往上走，那么要求的就是从$n*m$的网格的左下角走到右上角且不能穿过$y=x$的方案数。

将不能穿过$y=x$看成不能走到$y=x+1$，答案就是总方案数(即没有不能穿过$y=x$限制的方案数)-走到$y=x+1$的方案数。

将起点关于$y=x+1$对称到$(-1,1)$，那么走到$y=x+1$的方案数就是从$(-1,1)$走到$(n,m)$只能往右和往上走的方案数。

最终答案就是$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$，注意当$n<m$时答案为$0$。

#include<set>
#include<map>
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#include<cmath>
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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod=20100403;
int n,m;
int fac[2000010];
int inv[2000010];
int C(int n,int m)
{
	return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+m;i++)
	{
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	}
	for(int i=2;i<=n+m;i++)
	{
		inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;
	}
	if(n>=m)
	{
		printf("%d",(C(n+m,n)-C(n+m,n+1)+mod)%mod);
	}
	else
	{
		printf("0");
	}
}