HDU 4283 You Are the One ★(进出栈的括号匹配性质：区间DP)

题意

有一个队列，每个人有一个愤怒值D，如果他是第K个上场，不开心指数就为(K-1)*D。但是边上有一个小黑屋（一个FILO堆栈），可以一定程度上调整上场程序，求一种安排上场方案使得所有人的不开心指数和最小。

思路

非常好的一道区间DP题，涨了姿势了^.^

这道题困扰我的地方就在于怎么处理进堆出堆的那些情况，最后没办法网上看了题解，才想起这样一个美妙的性质：进栈出栈满足括号匹配性质！

关于括号匹配性质（即括号定理）是《算法导论》在深度优先搜索中讨论到的性质，实际上因为深度优先搜索就是栈的应用所以进出栈就满足括号定理。

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括号定理：（我们用进出栈的方式描述）设d[i]、d[j]表示第i和第j个元素的进栈时间，f[i]、f[j]表示第i和第j个元素的出栈时间，则下面三种情况有且仅有一种发生：

①区间[ d[i] ,  f[i] ]和[ d[j] ,  f[j] ]完全不相交，即 () () 这种情况；

②区间[ d[i] ,  f[i] ]完全包含[ d[j] ,  f[j] ]，此时表示i比j先进栈，即 ( () ) 这种情况；

③区间[ d[i] ,  f[i] ]完全包含于[ d[j] ,  f[j] ]，此时表示j比i先进栈，也是 ( () ) 这种情况；

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所以这里我们就发现其实这是一道区间DP：

我们设dp[i][j]表示从第i个人到第j个人这段区间的最小花费（只考虑这j-i+1个人，不需要考虑前面有多少人）。那么对于dp[i][j]的第i个人，就有可能第1个上场，也可以最后上场。考虑第k个上场，即在i+1之后的k-1个人是率先上场的，那么就出现了一个子问题 dp[i+1][k]表示在第i个人之前上场的；对于第i个人，由于是第k个上场的，那么愤怒值便是val[i]*(k-1)；其余的人是排在第k+1个之后出场的，也就是一个子问题dp[k+1][j]，对于这个区间的人，由于排在第k+1个之后，所以整体愤怒值要加上k*( sigma(val[k+1...j]) )

代码

[cpp]
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#define MID(x,y) ((x+y)/2)
#define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define REP(i, begin, end) for (int i = begin; i <= end; i ++)
using namespace std;

int dp[105][105], D[105], sum[105];

int main(){
int t;
scanf("%d", &t);
for (int ca = 1; ca <= t; ca ++){
int n;
scanf("%d", &n);
sum[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i ++){
for (int j = 0; j <= n; j ++){
if (j <= i) dp[i][j] = 0;
else dp[i][j] = 0x3fffffff;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++){
scanf("%d", &D[i]);
sum[i] = sum[i-1] + D[i];
}
for (int len = 1; len < n; ++ len){
for (int i = 1; i + len <= n; i ++){
int j = i + len;
for (int k = i; k <= j; k ++){
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k]+(k-i)*D[i]+dp[k+1][j]+(k-i+1)*(sum[j]-sum[k]));
}
}
}
printf("Case #%d: %d\n", ca, dp[1][n]);
}
return 0;
}
[/cpp]