【BZOJ 2440】 2440: [中山市选2011]完全平方数 （二分+容斥原理+莫比乌斯函数）

2440: [中山市选2011]完全平方数

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。 
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。 
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。 
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

,    T ≤ 50

Source

 

【分析】

　　之前做的，现在竟然想不到了。。

　　二分。。。首先要知道这个数不会大于2*k【why？

　　然后求小于等于mid的有多少个满足的数。

　　可以知道如果这个数是某个数的平方的倍数，那么他分解质因数之后一定有一个的质数大于等于2

　　这里要想到容斥原理，就是ans=n-n/(2*2)-n/(3*3)-...+n/(6*6)+...-...+...

　　6因为是2和3的倍数，分解质因数之后有两个质因数，所以在容斥里面是加。

　　跟莫比乌斯函数很像吧？它的系数就是莫比乌斯函数啊，想想定义、、

　　真是太妙了【以后要多做点容斥的题目

　　这样是只要算到根号n的

 

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 100010
 #define LL long long

 LL mu[Maxn],pri[Maxn],pl;
 bool q[Maxn];

 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}

 void get_mu(LL mx)
 {
     pl=;
     memset(q,,sizeof(q));
     mu[]=;
     for(LL i=;i<=mx;i++)
     {
         if(q[i])
         {
             pri[++pl]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(LL j=;j<=pl;j++)
         {
             if(i*pri[j]>mx) break;
             q[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==) mu[i*pri[j]]=;
             else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
             if(i%pri[j]==) break;
         }
     }

 }

 LL get_ans(LL n)
 {
     LL ans=;
     LL sq=(LL)ceil(sqrt((double)n));
     for(LL i=;i<=mymin(sq,n);i++)
     {
         ans+=mu[i]*(n/(i*i));
     }

     return ans;
 }

 LL ffind(LL k)
 {
     LL l=,r=k*;
     while(l<r)
     {
         LL mid=(l+r)>>;
         if(get_ans(mid)>=k) r=mid;
         else l=mid+;
     }
     return l;
 }

 int main()
 {
     int T;
     T=;
     scanf("%d",&T);
     get_mu();
     while(T--)
     {
         LL n;
         scanf("%lld",&n);

         LL ans=ffind(n);

         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

2017-03-23 10:27:20