【BZOJ 2671】 2671: Calc （数论，莫比乌斯反演）

2671: Calc

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Description

　　给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：
　　1.1<=a<b<=N
　　2.a+b整除a*b

Input

　一行一个数N

Output

　一行一个数表示答案

Sample Input

15

Sample Output

4

HINT

数据规模和约定

Test N Test N

1 <=10 11 <=5*10^7

2 <=50 12 <=10^8

3 <=10^3 13 <=2*10^8

4 <=5*10^3 14 <=3*10^8

5 <=2*10^4 15 <=5*10^8

6 <=2*10^5 16 <=10^9

7 <=2*10^6 17 <=10^9

8 <=10^7 18 <=2^31-1

9 <=2*10^7 19 <=2^31-1

10 <=3*10^7 20 <=2^31-1

Source

【分析】

　　这题的复杂度还挺迷人的。

　　然后$\sqrt n$也没发现，以为筛$\mu$都要$O(n)$,什么杜教筛的幸好不会。。

　　首先分析$(a+b)|(a*b) → (a/g+b/g)|(a/g*b/g*g) →(a/g+b/g)|g$

　　那就是互质的$a',b'$ 找他们的公倍数$g$就行了。

　　写正常一点就是$$\sum_{j=1}^{N}\sum_{i=1}^{j-1}\dfrac{n}{j*(i+j)} [gcd(i,j)==1]$$

　　到了这里，我就傻眼了，其实嘛。。。j并不会到$n$，只是到$\sqrt{n}$

　　$$\sum_{j=1}^{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{j-1}\dfrac{n}{j*(i+j)} [gcd(i,j)==1]$$

　　然后我又傻眼了，复杂度迷人的东西啊会把我脑子弄得很乱的。

　　直接枚举j，然后i那里分块，然后就是求[l,r]里面和j互质的数的个数。

　　差分，先求[1,r]里面的，就是$\sum_{x=1}^{r}1[gcd(x,j)==1]$

　　即$\sum_{d=1}^{r}\mu(d)*(r/d)$

　　最后就是$\sum_{d=1}^{r}\mu(d)*(r/d-(l-1)/d)$

　　枚举约数在前面$\sqrt{j}$枚举去了。。

　　真的是暴力出奇迹了。。。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define Maxn 50010
 #define LL long long

 bool vis[Maxn];
 int pri[Maxn],pl,mu[Maxn];

 int mymin(int x,int y) {return x<y?x:y;}

 void init()
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     pl=;mu[]=;
     for(int i=;i<=Maxn;i++)
     {
         if(!vis[i]) pri[++pl]=i,vis[i]=,mu[i]=-;
         for(int j=;j<=pl;j++)
         {
             if(i*pri[j]>Maxn) break;
             vis[i*pri[j]]=;
             if(i%pri[j]==) {mu[i*pri[j]]=;break;}
             mu[i*pri[j]]=-mu[i];
         }
     }
 }

 int sta[Maxn],sl;

 void div(int x)
 {
     sl=;
     int i;
     for(i=;i*i<x;i++)
     {
         if(x%i==) sta[++sl]=i,sta[++sl]=x/i;
     }
     if(i*i==x) sta[++sl]=i;
 }

 int gcd(int a,int b)
 {
     if(b==) return a;
     return gcd(b,a%b);
 }

 int main()
 {
     int n;
     scanf("%d",&n);
     init();
     LL ans=;
     int sq=(int)(sqrt((double)n));
     for(int i=;i<=sq;i++)
     {
         div(i);
         for(int j=;j<i;)
         {
             int x=n/i/(i+j),r;if(x==) break;
             r=mymin(i-,n/x/i-i);
             for(int k=;k<=sl;k++)
             {
                 ans+=mu[sta[k]]*(r/sta[k]-(j-)/sta[k])*x;
             }
             j=r+;
         }
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

2017-04-06 15:50:26