2016-2017 National Taiwan University World Final Team Selection Contest

A. Hacker Cups and Balls

二分答案，将$\geq mid$的数看成$1$，$<mid$的数看成$0$，用线段树进行区间排序检查即可。时间复杂度$O(n\log^2n)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010,M=262150;
int n,m,i,a[N],e[N][2],l,r,MID,ans;
int len[M],c1[M],tag[M];
inline void tag1(int x,int p){
  c1[x]=p?len[x]:0;
  tag[x]=p;
}
inline void pb(int x){
  if(~tag[x]){
    tag1(x<<1,tag[x]);
    tag1(x<<1|1,tag[x]);
    tag[x]=-1;
  }
}
inline void up(int x){
  c1[x]=c1[x<<1]+c1[x<<1|1];
}
void build(int x,int a,int b){
  len[x]=b-a+1;
  tag[x]=-1;
  if(a==b){
    c1[x]=::a[a]>=MID;
    return;
  }
  int mid=(a+b)>>1;
  build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
  up(x);
}
int ask(int x,int a,int b,int c,int d){
  if(c<=a&&b<=d)return c1[x];
  pb(x);
  int mid=(a+b)>>1,t=0;
  if(c<=mid)t=ask(x<<1,a,mid,c,d);
  if(d>mid)t+=ask(x<<1|1,mid+1,b,c,d);
  return t;
}
void change(int x,int a,int b,int c,int d,int p){
  if(c<=a&&b<=d){tag1(x,p);return;}
  pb(x);
  int mid=(a+b)>>1;
  if(c<=mid)change(x<<1,a,mid,c,d,p);
  if(d>mid)change(x<<1|1,mid+1,b,c,d,p);
  up(x);
}
bool check(){
  build(1,1,n);
  for(i=1;i<=m;i++){
    int l=e[i][0],r=e[i][1];
    bool u=l<r;
    if(l>r)swap(l,r);
    int len=r-l+1;
    int cnt=ask(1,1,n,l,r);
    change(1,1,n,l,r,0);
    if(!cnt)continue;
    if(u)change(1,1,n,r-cnt+1,r,1);
    else change(1,1,n,l,l+cnt-1,1);
  }
  return ask(1,1,n,(n+1)/2,(n+1)/2);
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
  for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&e[i][0],&e[i][1]);
  l=1,r=n;
  while(l<=r){
    MID=(l+r)>>1;
    if(check())l=(ans=MID)+1;else r=MID-1;
  }
  printf("%d",ans);
}

　　

B. Bored Dreamoon

设$f[i]$表示$i$的横坐标。对于$h[i]<h[j]$，若$j$在$i$前面则无解，若$i$在$j$前面则$f[j]\geq f[i]$，否则$f[j]<f[i]$。若存在环则无解，递推求出所有$f$即可。时间复杂度$O(n^2)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,i,j,x,rk[N],s[N][N],ans;char ch[N];
pair<int,int>a[N];
int h,t;
int q[N],d[N],f[N],g[N],v[N*N],w[N*N],nxt[N*N],ed,vis[N];bool in[N];
void NIE(){
  puts("-1");
  exit(0);
}
inline void add(int x,int y,int z){
  v[++ed]=y;w[ed]=z;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;
  d[y]++;
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].first),a[i].second=i;
  sort(a+1,a+n+1);
  for(i=1;i<=n;i++)rk[a[i].second]=i;
  for(i=1;i<=n;i++){
    scanf("%s",ch+1);
    for(j=1;j<=n;j++){
      s[rk[i]][rk[j]]=ch[j]-'0';
    }
  }
  //s[i][j]=1 denotes j is in right front of i
  for(i=1;i<=n;i++)for(j=i+1;j<=n;j++){
    if(s[i][j])NIE();
    //s[i][j]=0
    if(s[j][i]){//i is in right front of j
      add(i,j,0);
      //f[j]>=f[i]
    }else{
      add(j,i,1);
      //f[i]>=f[j]+1
    }
  }
  for(h=i=1;i<=n;i++){
    f[i]=1;
    if(!d[i])q[++t]=i;
  }
  while(h<=t){
    x=q[h++];
    for(i=g[x];i;i=nxt[i]){
      f[v[i]]=max(f[v[i]],f[x]+w[i]);
      if(!(--d[v[i]]))q[++t]=v[i];
    }
  }
  if(t<n)NIE();
  for(i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
  printf("%d",ans);
}

　　

C. Crazy Dreamoon

枚举横坐标，纵坐标对应的区间可以双指针。时间复杂度$O(n^2)$。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2050;
const double eps=1e-9;
int n,i,j,ans;bool f[N][N];
int cnt;
struct P{
  int x,y;
  P(){}
  P(int _x,int _y){x=_x,y=_y;}
  P operator-(const P&b){return P(x-b.x,y-b.y);}
  int operator*(const P&b){return x*b.x+y*b.y;}
}a,b,p,q;
struct E{
  double x,y;
  E(){}
  E(double _x,double _y){x=_x,y=_y;}
}e[9];
inline int sgnd(double x){
  if(x>eps)return 1;
  if(x<-eps)return -1;
  return 0;
}
inline bool cmp(const E&a,const E&b){
  if(sgnd(a.x-b.x))return a.x<b.x;
  return a.y<b.y;
}
inline int sgn(int x){
  if(x>0)return 1;
  if(x<0)return -1;
  return 0;
}
inline int cross(const P&a,const P&b){
  return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
inline bool point_on_segment(P p,P a,P b){
  return sgn(cross(b-a,p-a))==0&&sgn((p-a)*(p-b))<=0;
}
inline bool has_intersection(){
  int d1=sgn(cross(b-a,p-a)),d2=sgn(cross(b-a,q-a));
  int d3=sgn(cross(q-p,a-p)),d4=sgn(cross(q-p,b-p));
  if(d1*d2<0&&d3*d4<0)return 1;
  if(d1==0&&point_on_segment(p,a,b))return 1;
  if(d2==0&&point_on_segment(q,a,b))return 1;
  if(d3==0&&point_on_segment(a,p,q))return 1;
  if(d4==0&&point_on_segment(b,p,q))return 1;
  return 0;
}
inline void line_intersection(){
  int U=cross(p-a,q-p);
  int D=cross(b-a,q-p);
  double t=1.0*U/D;
  e[++cnt]=E(t*(b.x-a.x)+a.x,t*(b.y-a.y)+a.y);
}
inline bool check(int x,int y){
  //printf("check %d %d:\n",x,y);
  cnt=0;
  p=P(x,y);
  q=P(x+1,y);
  if(has_intersection())line_intersection();
  q=P(x,y+1);
  if(has_intersection())line_intersection();
  p=P(x+1,y);
  q=P(x+1,y+1);
  if(has_intersection())line_intersection();
  p=P(x,y+1);
  if(has_intersection())line_intersection();

  /*for(int i=1;i<=cnt;i++){
    printf("%.8f %.8f\n",e[i].x,e[i].y);
  }*/

  if(cnt<2)return 0;
  sort(e+1,e+cnt+1,cmp);
  int t=1;
  for(int i=2;i<=cnt;i++)if(e[i].x>e[i-1].x+eps||e[i].y>e[i-1].y+eps)t++;
  return t==2;
}
void solve(){
  int A,B,C,D;
  scanf("%d%d%d%d",&A,&B,&C,&D);
  if(A==C||B==D)return;
  if(A>C)swap(A,C),swap(B,D);
  a=P(A,B);
  b=P(C,D);
  if(B<D){//up
    int L=B,R=B;
    //(i..i+1)(L..L+1)
    //(i..i+1)(R..R+1)
    for(int i=A;i<C;i++){
      while(L<2000&&!check(i,L))L++;
      if(L==2000)return;
      if(R<L)R=L;
      while(R<1999&&check(i,R+1))R++;
      for(int j=L;j<=R;j++)f[i][j]=1;
    }
  }else{//down
    int L=B-1,R=B-1;
    //(i..i+1)(L..L+1)
    //(i..i+1)(R..R+1)
    for(int i=A;i<C;i++){
      while(R>=0&&!check(i,R))R--;
      if(R<0)return;
      if(L>R)L=R;
      while(L>0&&check(i,L-1))L--;
      for(int j=L;j<=R;j++)f[i][j]=1;
    }
  }
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  while(n--)solve();
  for(i=0;i<=2000;i++)for(j=0;j<=2000;j++)if(f[i][j])ans++;
  printf("%d",ans);
}

　　

D. Forest Game

设$d(x,y)$为$x$到$y$路径上点的个数，则$ans=n!\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{1}{d(i,j)}$。

利用树分治+FFT可以做到$O(n\log^2n)$。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=270000,P=1000000007;
const double pi=acos(-1.0);
struct comp{
  double r,i;
  comp(double _r=0,double _i=0){r=_r;i=_i;}
  comp operator+(const comp&x){return comp(r+x.r,i+x.i);}
  comp operator-(const comp&x){return comp(r-x.r,i-x.i);}
  comp operator*(const comp&x){return comp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}A[N],B[N];
int n,m,i,x,y,ed,a[N],g[N],nxt[N],v[N],ok[N],son[N],f[N],size,now;
int inv[N],ans;
ll cnt[N];
inline void add(int x,int y){v[++ed]=y,nxt[ed]=g[x],ok[ed]=1,g[x]=ed;}
void findroot(int x,int pre){
  son[x]=1;f[x]=0;
  for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i]&&v[i]!=pre){
    findroot(v[i],x);
    son[x]+=son[v[i]];
    if(son[v[i]]>f[x])f[x]=son[v[i]];
  }
  if(size-son[x]>f[x])f[x]=size-son[x];
  if(f[x]<f[now])now=x;
}
inline void FFT(comp a[],int n,int t){
  for(int i=1,j=0;i<n-1;i++){
    for(int s=n;j^=s>>=1,~j&s;);
    if(i<j)swap(a[i],a[j]);
  }
  for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
    int m=1<<d,m2=m<<1;
    double o=pi/m*t;comp _w(cos(o),sin(o));
    for(int i=0;i<n;i+=m2){
      comp w(1,0);
      for(int j=0;j<m;j++){
        comp &A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=w*A;
        A=B-t;B=B+t;w=w*_w;
      }
    }
  }
  if(t==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n;
}
inline void cal(int t){
  int i,k;
  for(k=1;k<m+m;k<<=1);
  for(i=0;i<k;i++)A[i]=B[i]=comp();
  for(i=1;i<=m;i++)A[i]=comp(a[i],0),B[i-1]=comp(a[i],0);
  FFT(A,k,1),FFT(B,k,1);
  for(i=0;i<k;i++)A[i]=A[i]*B[i];
  FFT(A,k,-1);
  for(i=2;i<m+m;i++){
    ll o=(ll)(A[i].r+0.5);
    if(t>0)cnt[i]+=o;else cnt[i]-=o;
  }
  for(i=1;i<=m;i++)a[i]=0;m=0;
}
void dfs(int x,int pre,int d){
  a[d]++;if(d>m)m=d;
  for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i]&&v[i]!=pre)dfs(v[i],x,d+1);
}
void solve(int x){
  int i;
  dfs(x,0,1),cal(1);
  for(i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i])dfs(v[i],x,2),cal(-1);
  for(i=g[x];i;i=nxt[i])if(ok[i])ok[i^1]=0,f[0]=size=son[v[i]],findroot(v[i],now=0),solve(now);
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(ed=i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
  f[0]=size=n,findroot(1,now=0),solve(now);
  for(ans=n,inv[1]=1,i=2;i<=n;i++){
    cnt[i]%=P;
    inv[i]=1LL*(P-inv[P%i])*(P/i)%P;
    ans=(cnt[i]*inv[i]+ans)%P;
  }
  for(i=2;i<=n;i++)ans=1LL*ans*i%P;
  printf("%d",ans);
}

　　

E. Lines Game

等价于选一个递增序列，且任意两个相邻的点$(i,p[i]),(j,p[j])$中间的矩形内部没有任何点。

设$f[i]$表示考虑前$i$个点，且$i$必选的最小代价。

考虑cdq分治，将左右的点按纵坐标排序后从小到大加入，两边分别维护两个关于横坐标的单调栈，然后用线段树维护单调栈中的DP值。

时间复杂度$O(n\log^2n)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010,inf=~0U>>1;
int n,i,a[N],w[N],f[N],v[262150];
int ca,cb,qa[N],qb[N],ta,tb,sa[N],sb[N];
inline bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];}
void build(int x,int a,int b){
  v[x]=inf;
  if(a==b)return;
  int mid=(a+b)>>1;
  build(x<<1,a,mid),build(x<<1|1,mid+1,b);
}
void change(int x,int a,int b,int c,int p){
  if(a==b){v[x]=p;return;}
  int mid=(a+b)>>1;
  c<=mid?change(x<<1,a,mid,c,p):change(x<<1|1,mid+1,b,c,p);
  v[x]=min(v[x<<1],v[x<<1|1]);
}
int ask(int x,int a,int b,int c,int d){
  if(c<=a&&b<=d)return v[x];
  int mid=(a+b)>>1,t=inf;
  if(c<=mid)t=ask(x<<1,a,mid,c,d);
  if(d>mid)t=min(t,ask(x<<1|1,mid+1,b,c,d));
  return t;
}
void solve(int l,int r){
  if(l==r){
    if(f[l]<inf)f[l]+=w[l];
    return;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  solve(l,mid);
  int i,j;
  ca=cb=0;
  for(i=l;i<=mid;i++)qa[++ca]=i;
  for(i=r;i>mid;i--)qb[++cb]=i;
  sort(qa+1,qa+ca+1,cmp);
  sort(qb+1,qb+cb+1,cmp);
  ta=tb=0;
  for(i=j=1;i<=cb;i++){
    while(j<=ca&&a[qa[j]]<a[qb[i]]){
      while(ta&&qa[j]>sa[ta]){
        change(1,0,n,a[sa[ta]],inf);
        ta--;
      }
      sa[++ta]=qa[j];
      change(1,0,n,a[qa[j]],f[qa[j]]);
      j++;
    }
    while(tb&&qb[i]<sb[tb])tb--;
    f[qb[i]]=min(f[qb[i]],ask(1,0,n,a[sb[tb]],a[qb[i]]));
    sb[++tb]=qb[i];
  }
  for(i=1;i<=ta;i++)change(1,0,n,a[sa[i]],inf);
  solve(mid+1,r);
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
  for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
  n++;
  a[n]=n;
  for(i=1;i<=n;i++)f[i]=inf;
  build(1,0,n);
  solve(0,n);
  printf("%d",f[n]);
}

　　

F. Lonely Dreamoon 2

将序列排序。

当$n$是偶数时从中间劈开，然后对应排名相互配对。

当$n$是奇数时枚举shift的次数，取最优的进行配对。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200010;
int n,m,i,j,x,y,a[N],w[N];
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&w[i]);
  sort(w,w+n);
  if(n&1){
    m=n/2;
    for(i=j=m;i<n;i++)if(w[i]-w[i-m]<w[j]-w[j-m])j=i;
    x=j,y=(x+m)%n;
    for(i=0;i<n;i+=2,x=(x+n-1)%n)a[i]=x;
    for(i=1;i<n;i+=2,y=(y+n-1)%n)a[i]=y;
  }else{
    for(i=1,j=0;i<n;i+=2,j++)a[i]=j;
    for(i=0;i<n;i+=2,j++)a[i]=j;
  }
  for(i=0;i<n;i++)printf("%d ",w[a[i]]);
}

　　

G. Dreamoon and NightMarket

将食物从小到大排序，用堆记录$($代价$,$最贵的食物$)$，每次要么新加入一个更贵的食物，要么把最贵的换成更贵的。时间复杂度$O(n\log n+k\log k)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int>P;
int n,m,i,a[200010];P t;priority_queue<P,vector<P>,greater<P> >q;
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
  sort(a+1,a+n+1);
  q.push(P(a[1],1));
  while(m--){
    t=q.top();
    q.pop();
    if(t.second==n)continue;
    q.push(P(t.first-a[t.second]+a[t.second+1],t.second+1));
    q.push(P(t.first+a[t.second+1],t.second+1));
  }
  printf("%I64d",t.first);
}

　　

H. Split Game

把点极角排序之后扫描线，考虑每个角对区域个数的影响。时间复杂度$O(n\log n)$。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
int n,i,j,b[N],t,x,ans;
struct P{
  int x,y;
  P(){}
  P(int _x,int _y){x=_x,y=_y;}
  P operator-(const P&b){return P(x-b.x,y-b.y);}
}a[N];
inline ll cross(const P&a,const P&b){return 1LL*a.x*b.y-1LL*a.y*b.x;}
inline bool cmp(int x,int y){
  return cross(a[x],a[y])>0;
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
  a[0]=a[n];
  a[n+1]=a[1];
  for(i=1;i<=n;i++)b[i]=i;
  sort(b+1,b+n+1,cmp);
  for(i=1;i<=n;i=j){
    x=0;
    for(j=i;j<=n&&!cross(a[b[i]],a[b[j]]);j++){
      if(cross(a[b[j]+1],a[b[j]])>0&&cross(a[b[j]-1],a[b[j]])>=0){
        if(cross(a[b[j]-1]-a[b[j]],a[b[j]+1]-a[b[j]])<0)t--;
        else x--;
      }
      if(cross(a[b[j]-1],a[b[j]])<0&&cross(a[b[j]+1],a[b[j]])<=0){
        if(cross(a[b[j]-1]-a[b[j]],a[b[j]+1]-a[b[j]])>0)t++;
        else x++;
      }
    }
    ans=max(ans,t);
    t+=x;
    ans=max(ans,t);
  }
  printf("%d",ans+1);
}

　　

I. Tree Game

贪心，记录每个子树里尚未配对的叶子数。

若有多于两棵子树尚未配对的叶子数为$1$，那么这些只能配掉。

若有多于一棵子树尚未配对的叶子数为$2$，那么这些只能配掉。

若有多于一棵子树尚未配对的叶子数为$1$，那么先考虑能否去和叶子数为$2$的子树进行配对。

否则最多向父亲贡献$2$个叶子。

时间复杂度$O(n)$。

#include<cstdio>
const int N=100010;
int n,i,x,y,g[N],v[N<<1],nxt[N<<1],ed,d[N],ans;
inline void add(int x,int y){v[++ed]=y;nxt[ed]=g[x];g[x]=ed;d[x]++;}
int dfs(int x,int y){
  if(d[x]==1)return 1;
  int A=0,B=0;
  for(int i=g[x];i;i=nxt[i])if(v[i]!=y){
    int t=dfs(v[i],x);
    if(t==1)A++;
    if(t==2)B++;
  }
  while(A>2)ans++,A-=2;
  while(B>1)ans++,B-=2;
  while(A>1&&B)ans++,A--,B--;
  A+=B*2;
  return A<2?A:2;
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  if(n<=3)return puts("1"),0;
  for(i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
  for(i=1;i<=n;i++)if(d[i]>1){
    if(dfs(i,0)==2)ans++;
    return printf("%d",ans),0;
  }
}

　　

J. Zero Game

枚举一个区间，踢掉里面所有的$1$，然后剩下的机会都从外面拿$0$进来。

设$s[i]$表示前$i$个里有多少个$1$，那么对于区间$[l+1,r]$，首先要满足$s[r]-s[l]\leq k$，答案为$r-l-2(s[r]-s[l])+k$，即$(r-2s[r])-(l-2s[l])+k$。

枚举$l$，双指针出可行的$r$，然后用单调队列求出最优的$r$即可。

时间复杂度$O(nq)$。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1000010;
int n,m,k,i,j,s[N],f[N],h,t,q[N],ans;char a[N];
int main(){
  scanf("%s",a+1);
  n=strlen(a+1);
  for(i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+(a[i]=='1');
  for(i=0;i<=n;i++)f[i]=i-s[i]*2;
  scanf("%d",&m);
  while(m--){
    scanf("%d",&k);
    h=1,t=0;
    ans=-N*10;
    for(i=j=0;i<=n;i++){
      while(j<=n&&s[j]-s[i]<=k){
        while(h<=t&&f[j]>=f[q[t]])t--;
        q[++t]=j++;
      }
      while(h<=t&&q[h]<=i)h++;
      if(h<=t)ans=max(ans,f[q[h]]-f[i]);
    }
    ans+=k;
    ans=max(ans,0);
    ans=min(ans,n-s[n]);
    printf("%d\n",ans);
  }
}