牛客国庆集训派对Day1.B.Attack on Titan(思路最短路Dijkstra)

\(Description\)

给定\(n,m,C\)及大小为\((n+1)(m+1)\)的矩阵\(c[i][j]\)。平面上有\((n+1)(m+1)\)个点，从\((0,0)\)编号到\((n,m)\)。

在任意时刻，你可以选择在当前点\((x,y)\)获取任意实数个单位的能量，获取每一单位需花费时间\(c[x][y]\)；

也可以选择从一个点移动到另一个点，花费的能量是移动路线的欧几里得距离（只可以沿与坐标轴平行或与坐标轴夹角\(45^{\circ}\)的方向走），不花费时间。

初始时有\(0\)点能量，任意时刻的能量不能超过\(C\)（可以是实数）。求从\((0,0)\)走到\((n,m)\)所需的最少时间。

\(n,m\leq20,\ C\leq10000,\ c[i][j]\leq10^6\)。

\(Solution\)

最短路，但是怎么表示能量这一状态呢？

注意到每次走的路线长度，也就是能量花费，以及能量获取，一定可以表示成\(x\cdot1+y\cdot\sqrt2,\ x,y\in\mathbb{Z}\)（既存在花费也存在获取，所以\(x,y\)可能为正也可能为负）。

注意到图很小，容易发现\(x\in[-40,40],y\in[-20,20]\)就够了，且\(0\leq x\cdot1+y\cdot\sqrt2\leq C\)。

也就是任意时刻的能量只需要是\(x\cdot1+y\cdot\sqrt2\)就可以了。把所有的合法\(x\cdot1+y\cdot\sqrt2\)全算出值来，用这些做能量的状态就可以了，记为\(w[i]\)。\(C=10^4\)的话状态数只有不到\(1700\)个。

然后我们就可以跑\(Dijkstra\)了？

对于状态\((x,y,now)\)，表示当前在\((x,y)\)，能量为\(w[now]\)，只需要尝试向周围\(8\)个格子移动就好了，同时也可以选择在原地补充能量，由\(w[now]\)变到到\(w[now+1]\)。

还有个问题是\(w[now]\)花费\(1\)或者\(\sqrt2\)会变成\(w\)多少。这个预处理一下就好了，对每个\(now\)找到和\(now-1\)或\(now-\sqrt2\)相差最近的（注意不要找错...= =）。

注意不要忘了\(C\)的限制，拿样例的状态数做数组大小= =（WA*INF）

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#include <cmath>

#include <queue>

#include <cstdio>

#include <cctype>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#define eps 1e-7

#define eps2 1e-9

#define gc() getchar()

typedef long long LL;

const int N=23,M=1700,Way[5]={1,0,-1,0,1},Way2[5]={1,-1,-1,1,1};

const double sq2=sqrt(2),INF=(double)(1ll<<61);

int nxt1[M],nxt2[M];

bool vis[N][N][M];

double c[N][N],dis[N][N][M],w[M];

struct Node

{

	int x,y,now; double tm;

	bool operator <(const Node &x)const

	{

		return tm>x.tm;

	}

}e[M];

std::priority_queue<Node> q;

inline int read()

{

	int now=0;register char c=gc();

	for(;!isdigit(c);c=gc());

	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());

	return now;

}

int main()

{

	int n=read(),m=read(),C=read(),cnt=0;

	for(int i=0; i<=n; ++i)

		for(int j=0; j<=m; ++j) c[i][j]=read();

	for(int i=-40; i<=40; ++i)

		for(int j=-20; j<=20; ++j)

		{

			double v=i+j*sq2;

			if(v>=0 && v<C+eps2) w[++cnt]=v;

		}

	std::sort(w+1,w+1+cnt);

	for(int i=1; i<=cnt; ++i)//走1单位或走sqrt(2)单位，能量会消耗到哪里

	{

		for(int j=i-1; j; --j)

			if(fabs(w[i]-1-w[j])<eps) {nxt1[i]=j; break;}

//			if(w[i]-w[j]<1+eps) {nxt1[i]=j; break;}//wrong.

		for(int j=i-1; j; --j)

			if(fabs(w[i]-sq2-w[j])<eps) {nxt2[i]=j; break;}

	}

	for(int i=0; i<=n; ++i)

		for(int j=0; j<=m; ++j)

			for(int k=1; k<=cnt; ++k) dis[i][j][k]=INF;

	dis[0][0][1]=0, q.push((Node){0,0,1,0});

	while(!q.empty())

	{

		Node tmp=q.top(); q.pop();

		int x=tmp.x,y=tmp.y,now=tmp.now;

		if(vis[x][y][now]) continue;

		if(x==n&&y==m) return printf("%.9lf\n",dis[x][y][now]),0;

		vis[x][y][now]=1;

		int t=0;

		if(w[now]+eps>1)

		{

			for(int i=0,xn,yn; i<4; ++i)

				if((xn=x+Way[i])<=n&&xn>=0&&(yn=y+Way[i+1])<=m&&yn>=0)

					e[++t]=(Node){xn,yn,nxt1[now],0};

		}

		if(w[now]+eps>sq2)

		{

			for(int i=0,xn,yn; i<4; ++i)

				if((xn=x+Way2[i])<=n&&xn>=0&&(yn=y+Way2[i+1])<=m&&yn>=0)

					e[++t]=(Node){xn,yn,nxt2[now],0};

		}

		if(now<cnt) e[++t]=(Node){x,y,now+1,(w[now+1]-w[now])*c[x][y]};

		#define v e[i]

		double ds=dis[x][y][now];

		for(int i=1; i<=t; ++i)

			if(dis[v.x][v.y][v.now]>ds+v.tm)

				v.tm=dis[v.x][v.y][v.now]=ds+v.tm, q.push(v);

	}

	return 0;

}