卡特兰数&&prufer序列&&BSGS水题集

首先说一下BSGS的一个坑点：

解方程A^x≡B(mod p)

需要特判一个东西=>A%p==B%p==0?

如果相等的话puts("1")反之则无解。

因为如果A%p=0，那么无法移项，导致BSGS算法的错误

进入正题:

一   卡特拉数（C(2*n,n)/(n+1)）用于处理01序列里任意位置0的个数>1的情况。。

但知道定义没用，重要的是打表找规律。

善于用next_permutation,搜索等工具找出前几项。

记住卡特兰数的前几项:1 2 5 14 42 132 429。(反正也只能求出这几项)

至于求法，先化到最简，取模可以用lucas,不取模的高精。

喜欢高精除的畜生就打高精除，不喜欢的就分解质因数，数据小的也可以O(n^2)枚举。

贴一下分解质因数的代码：

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 #define MAXN 4000005
 int prime[MAXN],tot,n,frpr[MAXN],fenzi[MAXN],tot1;
 void pre()
 {
     for(int i=;i<=*n;i++)
     {
         if(!frpr[i])
         {
             frpr[i]=i;
             prime[++tot]=i;
         }
         for(int j=;j<=tot;j++)
         {
             if(prime[j]*i>*n)break;
             frpr[prime[j]*i]=prime[j];
             if(!(i%prime[j]))break;
         }
     }
     return ;
 }
 void Get_pr(int x,int opt)
 {
     while(x!=)
     {
         if(opt==)fenzi[frpr[x]]++;
         else fenzi[frpr[x]]--;
         x/=frpr[x];
     }
     return ;
 }
 int main()
 {
     int p,ans=;
     scanf("%d%d",&n,&p);
     pre();
     for(int i=n+;i<=*n;i++)Get_pr(i,);
     for(int i=;i<=n;i++)Get_pr(i,);
     for(int i=;i<=tot;i++)
     {
         while(fenzi[prime[i]]>)
         {
             ans=1ll*ans*prime[i]%p;
             fenzi[prime[i]]--;
         }
     }
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }

二  prufer序列

用n-2个点表示n个节点的有标号树，可以证明prufer序列和对应的树都是唯一确定的。

由此可以得到一些推论：

1. n个点构成的无根树的个数：n^(n-2)

2. 确定n个点度数分别为d1,d2…时无根树个数： (n-2)!/((d1-1)!*(d2-1)!*…)

3.  n个点的有标号有根树的个数： n*n^(n-2)=n^(n-1)

4. 所有节点的度之和为n*2-2

除了统计树的个数，别的。。。就没啥了(听说还能优化暴力枚举)

三 BSGS

模板：

 void insert(int x,int d)
 {
     int k=x%mod;
     val[++cnt]=x;nxt[cnt]=head[k];id[cnt]=d;head[k]=cnt;
 }
 int find(int x)
 {
     int k=x%mod;
     for(int i=head[k];i;i=nxt[i])
         if(val[i]==x)return id[i];
     return -;
 }
 int BSGS()
 {
     int m=ceil(sqrt(p*1.0)),bs=;
     int now=;insert(B%p,);//insert A^j*B
     if(B==)return ;
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         now=1ll*now*A%p;
         insert(1ll*now*B%p,i);
     }
     now=1ll*now*A%p;
     for(int i=m;;i+=m)
     {
         bs=1ll*bs*now%p;
         int x=find(bs);
         if(x!=-)return i-x;
         if(i>p)break;
     }
     return -;
 }

除了上面提到的坑点，还有就是根据题意啦