[ch05-01] 正规方程法解决多变量线性回归问题

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5.1 正规方程解法

英文名是 Normal Equations。

对于线性回归问题，除了前面提到的最小二乘法可以解决一元线性回归的问题外，也可以解决多元线性回归问题。

对于多元线性回归，可以用正规方程来解决，也就是得到一个数学上的解析解。它可以解决下面这个公式描述的问题：

\[y=a_0+a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_kx_k \tag{1}\]

5.1.1 简单的推导方法

在做函数拟合（回归）时，我们假设函数H为：

\[h(w,b) = b + x_1 w_1+x_2 w_2+...+x_n w_n \tag{2}\]

令\(b=w_0\)，则：

\[h(w) = w_0 + x_1 \cdot w_1 + x_2 \cdot w_2+...+ x_n \cdot w_n\tag{3}\]

公式3中的x是一个样本的n个特征值，如果我们把m个样本一起计算，将会得到下面这个矩阵：

\[H(w) = X \cdot W \tag{4}\]

公式5中的X和W的矩阵形状如下：

\[
X =
\begin{pmatrix}
1 & x_{1,1} & x_{1,2} & \dots & x_{1,n} \\
1 & x_{2,1} & x_{2,2} & \dots & x_{2,n} \\
\dots \\
1 & x_{m,1} & x_{m,2} & \dots & x_{m,n}
\end{pmatrix} \tag{5}
\]

\[
W= \begin{pmatrix}
w_0 \\
w_1 \\
\dots \\
w_n
\end{pmatrix} \tag{6}
\]

然后我们期望假设函数的输出与真实值一致，则有：

\[H(w) = X \cdot W = Y \tag{7}\]

其中，Y的形状如下：

\[
Y= \begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\dots \\
y_m
\end{pmatrix} \tag{8}
\]

直观上看，W = Y/X，但是这里三个值都是矩阵，而矩阵没有除法，所以需要得到X的逆矩阵，用Y乘以X的逆矩阵即可。但是又会遇到一个问题，只有方阵才有逆矩阵，而X不一定是方阵，所以要先把左侧变成方阵，就可能会有逆矩阵存在了。所以，先把等式两边同时乘以X的转置矩阵，以便得到X的方阵：

\[X^T X W = X^T Y \tag{9}\]

其中，\(X^T\)是X的转置矩阵，\(X^T X\)一定是个方阵，并且假设其存在逆矩阵，把它移到等式右侧来：

\[W = (X^T X)^{-1}{X^T Y} \tag{10}\]

至此可以求出W的正规方程。

5.1.2 复杂的推导方法

我们仍然使用均方差损失函数：

\[J(w,b) = \sum (z_i - y_i)^2 \tag{11}\]

把b看作是一个恒等于1的feature，并把z=XW计算公式带入，并变成矩阵形式：

\[J(w) = \sum (x_i w_i -y_i)^2=(XW - Y)^T \cdot (XW - Y) \tag{12}\]

对w求导，令导数为0，就是W的最小值解：

\[
\begin{aligned}
{\partial J(w) \over \partial w} &= {\partial \over \partial w}[(XW - Y)^T \cdot (XW - Y)] \\
&={\partial \over \partial w}[(X^TW^T - Y^T) \cdot (XW - Y)] \\
&={\partial \over \partial w}[(X^TXW^TW -X^TW^TY - Y^TXW + Y^TY)]
\end{aligned}
\tag{13}
\]

求导后：

第一项的结果是：\(2X^TXW\)

第二项和第三项的结果都是：\(X^TY\)

第四项的结果是：0

再令导数为0：

\[
J'(w)=2X^TXW - 2X^TY=0 \tag{14}
\]
\[
X^TXW = X^TY \tag{15}
\]
\[
W=(X^TX)^{-1}X^TY \tag{16}
\]

结论和公式10一样。

以上推导的基本公式可以参考第0章的公式60-69。

逆矩阵\((X^TX)^{-1}\)可能不存在的原因是：

特征值冗余，比如\(x_2=x^2_1\)，即正方形的边长与面积的关系，不能做为两个特征同时存在
特征数量过多，比如特征数n比样本数m还要大

以上两点在我们这个具体的例子中都不存在。

5.1.3 代码实现

我们把表5-1的样本数据带入方程内。根据公式(5)，我们应该建立如下的X,Y矩阵：

\[
X = \begin{pmatrix}
1 & 10.06 & 60 \\
1 & 15.47 & 74 \\
1 & 18.66 & 46 \\
1 & 5.20 & 77 \\
\dots \\
\end{pmatrix} \tag{17}
\]

\[
Y= \begin{pmatrix}
302.86 \\
393.04 \\
270.67 \\
450.59 \\
\dots \\
\end{pmatrix} \tag{18}
\]

根据公式(10)：

\[W = (X^T X)^{-1}{X^T Y} \tag{10}\]

X是1000x3的矩阵，X的转置是3x1000，\(X^TX\)生成(3x3)的矩阵
\((X^TX)^{-1}\)也是3x3
再乘以\(X^T\)，即(3x3)x(3x1000)的矩阵，变成3x1000
再乘以Y，Y是1000x1，所以(3x1000)x(1000x1)变成3x1，就是W的解，其中包括一个偏移值b和两个权重值w，3个值在一个向量里

if __name__ == '__main__':
    reader = SimpleDataReader()
    reader.ReadData()
    X,Y = reader.GetWholeTrainSamples()
    num_example = X.shape[0]
    one = np.ones((num_example,1))
    x = np.column_stack((one, (X[0:num_example,:])))
    a = np.dot(x.T, x)
    # need to convert to matrix, because np.linalg.inv only works on matrix instead of array
    b = np.asmatrix(a)
    c = np.linalg.inv(b)
    d = np.dot(c, x.T)
    e = np.dot(d, Y)
    #print(e)
    b=e[0,0]
    w1=e[1,0]
    w2=e[2,0]
    print("w1=", w1)
    print("w2=", w2)
    print("b=", b)
    # inference
    z = w1 * 15 + w2 * 93 + b
    print("z=",z)

5.1.4 运行结果

w1= -2.0184092853092226
w2= 5.055333475112755
b= 46.235258613837644
z= 486.1051325196855

我们得到了两个权重值和一个偏移值，然后得到房价预测值z=486万元。

至此，我们得到了解析解。我们可以用这个做为标准答案，去验证我们的神经网络的训练结果。

代码位置

ch05, Level1