【2021 ICPC Asia Jinan 区域赛】 C Optimal Strategy推公式-组合数-逆元快速幂

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题目

题意

有n个物品在他们面前，编号从1自n.两人轮流移走物品。在移动中，玩家选择未被拿走的物品并将其拿走。当所有物品被拿走时，游戏就结束了。任何一个玩家的目标是最大化他们拿走的物品的价值之和。

二人都足够聪明，有多少可能的游戏过程？结果取模998244353.

如果存在一些整数相等，但是下标不一样，算为两种方式。

题解

此题可以抽象为有序序列，第一个位置第一次被拿走，第二个位置第二次被拿走，后者亦然，求有多少种符合条件的序列

1. 最大值若为单数个，第一个人一定拿走，对于种数并没有贡献

2. 最大值若为双数个，第一个人拿走一个，后面人一定也要拿走一个

3. 每次拿完，都可以抽象为前两种。

以下为用高中排列组合思考问题：

AC代码

组合数用逆元求，如果按正常阶乘算，若 被除数取模过，那么结果也就不一样了

// #include<bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <vector>
 
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII; 
 
const int N = 1e6+10;
const LL mod = 998244353;
int st[N];
LL fact[N], infact[N];
 
LL qmi(LL x, LL k)//快速幂
{
    LL res = 1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            res = (LL)res * x %mod;
        k >>= 1;
        x = (LL)x * x % mod;
    }
    return res;
}
void init(int n)
{
    fact[0] = 1, infact[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        fact[i] = fact[i-1]*i%mod;//n的阶乘
        infact[i] = infact[i-1]*qmi((LL)i, mod-2)%mod;//逆元
    }
    return;
}
LL zuhe(int n, int m)//求组合数
{
    return fact[n] * infact[n-m] %mod* infact[m]%mod;
}
int main(){
    vector<PII> a;
    int n;
    cin >> n;
    init(n);
    int idx = 0;
    for(int i = 0; i < N; i ++) st[i] = -1;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        if(st[x]>=0)    a[st[x]].second ++;//记录每个数出现了几次
        else
        {
            a.push_back({x, 1});
            st[x] = idx ++;
        }
    }
    sort(a.begin(), a.end());
    int sum = 0;
    LL res = 1;
    for(int i = a.end()-a.begin()-1; i >= 0; i --)sum+=a[i].second;
 
    //数学公式实现过程
    for(int i = a.end()-a.begin()-1; i >= 0; i --)
    {
        sum -= a[i].second;
        int c = a[i].second;
        if(c >= 2)
            res = res * fact[c]%mod * zuhe((sum + c/2), c/2)%mod;
 
    }
    cout << res <<endl;
 
    return 0;
}