cFSMN和FSMN参数规模对比分析

1. FSMN参数规模分析

       (1)分析前提：

1. 假设隐藏层单元规模都为n
2. 只分析前向t个时刻的结构，即暂时不考虑双向的结构
3. 只分析向量系数编码，即vFSMN，暂时不考虑sFSMN

       (2)结构图回顾：

       (3)公式回顾：

\[
\vec{\tilde{h}_t^l} = \sum_{i=0}^{N}\vec{a_i^l}\odot\vec{h_{t-i}^l},in...vFSMN
\]

\[
A^l =\{ \vec{a_0^l},\vec{a_1^l},...,\vec{a_N^l}\},in...vFSMN
\]

\[
\vec{h_t^{l+1}} =f(W^l\vec{h_t^l}+\tilde{W}^l\vec{\tilde{h}_t^l} +\vec{b^l} )
\]

       (4)参数规模分析

由第一个公式和第二个，可知这一部分的参数规模为：n × t

由第三个公式，可知这一部分的参数规模为：n × n + n × n

所以总的参数规模为：n × n + n × n + n × t

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2. cFSMN参数规模分析

       (1)分析前提：

1. 与FSMN的分析前提完全一致
2. 假设投影层的投影矩阵是x × n维的

       (2)结构图回顾：

       (3)公式回顾：

\[
\vec{p_t^l} =V^l\vec{h_t^l}+\vec{b^l}
\]

\[
\vec{\tilde{p}_t^l} = \vec{p_t^l}+\sum_{i=0}^{N}\vec{a_i^l}\odot \vec{p_{t-i}^l}
\]

\[
\vec{h_t^{l+1}} =f(U^l\vec{\tilde{p}_t^l} +\vec{b^l} )
\]

       (4)参数规模分析

由第一个公式和假设，可知这一部分的参数规模为：x × n

由第二个公式，可知这一部分的参数规模为：x × t

由第三个公式，可知这一部分的参数规模为：x × n

所以总的参数规模为：n × x + n × x+ x × t

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3. 对比

FSMN的参数规模为：n × n + n × n + n × t

cFSMN的参数规模为：n × x + n × x+ x × t

所以：cFSMN相比于FSMN，减少的参数规模为： (2n+t) × (n-x)

进一步的，实际上n很大，可以忽略t的影响，所以上式可以近似为：2n × (n-x)

可以看到，如果取x为n的一半，较少的参数规模就是n²

近似分析的结果，就是参数规模可以减少的量级为：O(n²)