缓存淘汰算法 LRU 和 LFU

LRU (Least Recently Used), 即最近最少使用用算法，是一种常见的 Cache 页面置换算法，有利于提高 Cache 命中率。

LRU 的算法思想：对于每个页面，记录该页面自上一次被访问以来所经历的时间 \(t\)，当淘汰一个页面时，应选择所有页面中其 \(t\) 值最大的页面，即内存中最近一段时间内最长时间未被使用的页面予以淘汰。

其余常见的页面置换算法还有：

• OPT：理想化的置换算法，假设 OS 知道程序后续访问的所有页面的顺序，每次淘汰页面时，OPT 选择的页面将是以后永不使用的，或是在最长（未来）时间内不再被访问的页面。采用 OPT 通常可保证最低的缺页率（最高的 Cache 命中率）。
• FIFO：先进先出
• Clock 置换，又称最近未用算法 (NRU，Not Recently Used) 。
  • 算法思想：为每个页面设置一个访问位，再将内存中的页面都通过链接指针链接成一个环形队列。当某个页被访问时，其访问位置 1。当需要淘汰一个页面时，只需检查页的访问位。如果是 0，就选择该页换出；如果是 1，暂不换出，将访问位改为 0，继续检查下一个页面。若第一轮扫描中所有的页面都是 1，则将这些页面的访问位一次置为 0 后，再进行第二轮扫描，第二轮扫描中一定会有访问位为 0 的页面。
• LFU (Least Frequently Used) ：为每个页面配置一个计数器，一旦某页被访问，则将其计数器的值加1，在需要选择一页置换时，则将选择其计数器值最小的页面，即内存中访问次数最少的页面进行淘汰。

LRU

例子

给定一个程序的页面访问序列：7 0 1 2 0 3 0 4，假设实际 Cache 只有 3 个页面大小，根据 LRU，画出 Cache 中的页面变化过程。

使用一个栈（大小是 3），栈顶总是最新访问的页面。当栈满时，最新访问页面为 x：

• x 不在栈当中，去除栈底元素，把 x 置入栈顶。
• x 在栈当中，把 x 移至栈顶，其他页面顺序不变。

如下图所示，图源自知乎。

如果简单使用一个数组来模拟上述过程，访问一次页面的平均时间复杂度为 \(O(n)\) 。

实现

在这里，LRU 存放的数据是一个键值对 (key, val) 。

Leetcode 题目：146. LRU 缓存机制。

要求 get 和 put 操作都在 \(O(1)\) 时间内完成。

方法：双向链表+哈希。双向链表头尾各自带有一个 dummy 节点（可以简化插入、删除操作的代码）。

哈希表与链表的关系如图所示（图来源自 Leetcode 讨论区）。

需要保证 get 方法在 \(O(1)\) 内完成，因此哈希表只能使用 unordered_map 而不是 map 。

struct Node
{
    int key, value;
    Node *next, *prev;
    Node(int k, int v) : key(k), value(v), prev(nullptr), next(nullptr) {}
};
class List
{
public:
    Node *head, *tail;
    int length;
    List() : length(0)
    {
        head = new Node(-1, -1), tail = new Node(-1, -1);
        head->next = tail, tail->prev = head;
    }
    void pushFront(Node *node)
    {
        auto next = head->next;
        head->next = node, node->next = next;
        next->prev = node, node->prev = head;
        length++;
    }
    void pushBack(Node *node)
    {
        auto prev = tail->prev;
        prev->next = node, node->next = tail;
        tail->prev = node, node->prev = prev;
        length++;
    }
    bool empty() { return length == 0 && head->next == tail && tail->prev == head; }
    Node *popFront()
    {
        if (empty()) return nullptr;
        auto p = head->next;
        head->next = p->next, p->next->prev = head;
        p->next = p->prev = nullptr;
        length--;
        return p;
    }
    Node *popBack()
    {
        if (empty()) return nullptr;
        auto p = tail->prev;
        tail->prev = p->prev, p->prev->next = tail;
        p->prev = p->next = nullptr;
        length--;
        return p;
    }

    Node *remove(Node *node)
    {
        if (node == nullptr || empty()) return nullptr;
        auto prev = node->prev, next = node->next;
        prev->next = next, next->prev = prev;
        node->next = node->prev = nullptr;
        length--;
        return node;
    }
};
class LRUCache
{
public:
    unordered_map<int, Node *> table;
    List list;
    int capacity;
    LRUCache(int capacity) { this->capacity = capacity; }
    int get(int key)
    {
        if (table.count(key) == 0) return -1;
        else
        {
            auto node = list.remove(table[key]);
            list.pushFront(node);
            return node->value;
        }
    }
    void put(int key, int value)
    {
        if (table.count(key) == 0)
        {
            auto node = new Node(key, value);
            table[key] = node;
            if (list.length == capacity)
            {
                auto p = list.popBack();
                table.erase(p->key);
                delete p;
            }
            list.pushFront(node);
        }
        else
        {
            table[key]->value = value;
            list.pushFront(list.remove(table[key]));
        }
    }
};

下面尝试使用 STL 中的 list 完成。

TODO.

LFU

Leetcode 题目：460. LFU 缓存。

LFU (Least Frequently Used) 的主要思想是为每个缓存项一个计数器，一旦某个缓存项被访问，则将其计数器的值加 1，在需要淘汰缓存项时，则将选择其计数器值最小的，即内存中访问次数最少的缓存进行淘汰。

按照这一描述，首先想到的是可以通过哈希表 + 优先队列（小顶堆），堆中的数据以缓存项的计数器作为键值排序。

对于 get 方法而言，通过哈希表找到 key 对应元素的位置，计数器加 1，重新调整堆，时间复杂度为 \(O(\log{n})\) .

对于 put 方法而言，如果缓存中存在该元素，计数器加一，重新调整堆，时间复杂度为 \(O(\log{n})\) ；如果不存在该元素并且缓存已满，那么直接把堆顶元素替换为新的元素 <key,value>（因为新元素的计数器为 1 ，必然也是最小的），时间复杂度为 \(O(1)\)。因此，put 方法总的时间复杂度为 \(O(\log{n})\) .

这一方法基于堆实现，无法保证当 2 个元素的计数器相同时，被淘汰的是「较旧」的元素。

---

现考虑 get 和 put 均为 \(O(1)\) 的解法。

考虑基于「哈希+十字链表」实现，如下图所示（出处见水印）。

链表节点定义为：

struct Node
{
    int key, value, counter;
    Node *prev, *next, *another;
};

hashmap 用于记录 key -> Node* 的映射关系，辅助 get 方法在 \(O(1)\) 时间内完成。

对于访问次数相同的节点，用链表连接起来（上图的横向链表），链表的头部记录访问次数，随后连接缓存数据的节点，数据节点有一个额外的指针 another 指向第一个节点（即记录访问次数的节点），然后把所有链表的头部也连接起来（上图的纵向链表），形成十字链表。

对于 get 方法，通过 p = hashmap[key] 找到指向数据的指针，然后把 p 移动到 count+1 的链表尾部（如果链表 count+1 不存在则插入一个）。

考虑 put 方法的最坏情况，如果 <key, val> 不在缓存当中， 并且缓存已满，那么就从十字链表的第一个链表（count 值最小的链表）删除尾部节点，并在头部插入新节点（这么做是为了按照从新到旧存储每个数据，尾部就是「最旧」的节点，可以做到计数相同的情况下，淘汰旧元素）。

但这种「十字链表」结构实现起来过于复杂（代码肯定不简洁），所以我们把「十字链表」转换为一个哈希表 hash<int, List> ，如下图所示。

代码实现：

struct Node
{
    int key, value, counter;
    Node *next, *prev;
    Node(int k, int v) : key(k), value(v), counter(1), prev(nullptr), next(nullptr) {}
};
class List
{
public:
    Node *head, *tail;
    int length;
    List() : length(0)
    {
        head = new Node(-1, -1), tail = new Node(-1, -1);
        head->next = tail, tail->prev = head;
    }
    void pushFront(Node *node)
    {
        auto next = head->next;
        head->next = node, node->next = next;
        next->prev = node, node->prev = head;
        length++;
    }
    void pushBack(Node *node)
    {
        auto prev = tail->prev;
        prev->next = node, node->next = tail;
        tail->prev = node, node->prev = prev;
        length++;
    }
    bool empty() { return length == 0 && head->next == tail && tail->prev == head; }
    Node *popFront()
    {
        if (empty()) return nullptr;
        auto p = head->next;
        head->next = p->next, p->next->prev = head;
        p->next = p->prev = nullptr;
        length--;
        return p;
    }
    Node *popBack()
    {
        if (empty()) return nullptr;
        auto p = tail->prev;
        tail->prev = p->prev, p->prev->next = tail;
        p->prev = p->next = nullptr;
        length--;
        return p;
    }

    Node *remove(Node *node)
    {
        if (node == nullptr || empty()) return nullptr;
        auto prev = node->prev, next = node->next;
        prev->next = next, next->prev = prev;
        node->next = node->prev = nullptr;
        length--;
        return node;
    }
};
class LFUCache
{
public:
    unordered_map<int, Node *> table;
    unordered_map<int, List> data;
    int capacity, total, minCounter;
    LFUCache(int capacity)
    {
        this->capacity = capacity;
        this->total = 0;
        this->minCounter = 1;
    }

    int get(int key)
    {
        if (table.count(key) == 0) return -1;
        else
        {
            auto node = table[key];
            int counter = node->counter;
            node->counter++;
            data[counter].remove(node);
            data[counter + 1].pushFront(node);
            if (data[counter].length == 0 && counter == minCounter)
                minCounter = counter + 1;
            return node->value;
        }
    }

    void put(int key, int value)
    {
        // 面向测试用例编程，这个 capacity = 0 属实不讲武德
        if (capacity == 0) return;
        if (table.count(key) == 0)
        {
            auto node = new Node(key, value);
            if (total == capacity)
            {
                auto p = data[minCounter].popBack();
                table.erase(p->key);
                total--;
                delete p;
            }
            minCounter = 1;
            table[key] = node;
            data[1].pushFront(node);
            total++;
        }
        else
        {
            auto node = table[key];
            int counter = node->counter;
            node->value = value, node->counter++;
            data[counter].remove(node);
            data[counter + 1].pushFront(node);
            if (data[counter].length == 0 && counter == minCounter)
                minCounter = counter + 1;
        }
    }
};