【XSY1522】灯 乱搞

题目大意

​　　\(n\)盏灯排成一列，标号\(1\)到\(n\)，一开始标号为\(1\)的灯亮着。

​　　现在依次对于\(2\)~\(n\)的每一个质数\(p_i\)，指定一盏亮着的灯\(a_i\)，点亮所有标号为\(a_i\pm kp_i\)的灯。

　　输出任意一种方案即可

​　　\(n\leq100000\)

题解

​　　我们可以把灯的编号减\(1\)，变成\(0\)~\(n-1\)

​　　先用线性筛把质数筛出来

​　　如果对于每一个质数都指定编号\(0\)的灯，就可以把除了\(1\)之外的所有灯点亮。

​　　所以我们的目标是点亮\(1\)号灯

​　　我们要找两个质数\(p_1,p_2\)，满足\(p_1|p_2-1,p_1^2\geq n,p_2^2\geq n,p_1+p_2\leq n-1\)，然后就可以给\(p_1\)指定\(p_1+1\)，给\(p_2\)指定\(p_1+p_2\)。因为所有偶数都在\(p=2\)时被点亮了，所以这样就可以把全部灯点亮了。

​　　但是我们会发现n比较小时这个方法有时候会找不到答案，我们只需要写一个暴搜把\(n\leq50\)的情况全部搜出来。

​　　我也不知道第\(55\)行的那个剪枝是不是对的反正能搜出一组解。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int p[1000010];
int b[1000010];
int cnt;
int a1[1000010];
int a2[1000010];
int a[1000010];
int cnt1,cnt2;
int ans[1000010];
int c[1000010];
int d[1000010];
int n;
int tcnt;
void dfs(int x)
{
	if(x>cnt)
	{
		int i;
		for(i=1;i<=n;i++)
			if(!a[i])
				return;
//		printf("printf(\"%d %d\\n",tcnt,n);
//		for(i=1;i<=tcnt;i++)
//			printf("%d\\n",ans[i]);
//		printf("\");");
		printf("%d %d\n",tcnt,n);
		for(i=1;i<=tcnt;i++)
			printf("%d\n",ans[i]);
		exit(0);
	}
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(a[i])
		{
			int s=0;
			for(j=i;j<=n;j+=p[x])
			{
				s+=!a[j];
				a[j]++;
			}
			for(j=i-p[x];j>=1;j-=p[x])
			{
				s+=!a[j];
				a[j]++;
			}
			ans[x]=i;
			if(s)
				dfs(x+1);
			for(j=i;j<=n;j+=p[x])
				a[j]--;
			for(j=i-p[x];j>=1;j-=p[x])
				a[j]--;
		}
}
int main()
{
//	freopen("light.in","r",stdin);
//	freopen("light.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	memset(b,0,sizeof b);
	int i,j;
	cnt=0;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!b[i])
			p[++cnt]=i;
		for(j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
		{
			b[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)
				break;
		}
	}
	tcnt=cnt;
	if(n<=50)
	{
		memset(a,0,sizeof a);
		a[1]=1;
		if(p[cnt]==n)
		{
			ans[cnt]=1;
			cnt--;
		}
		dfs(1);
		printf("%d %d\n",tcnt,n-1);
		for(i=1;i<=tcnt;i++)
			printf("1\n");
		return 0;
	}
	printf("%d ",tcnt);
	if(p[cnt]==n)
	{
		ans[cnt]=1;
		cnt--;
	}
	n--;
	memset(a,0,sizeof a);
	int cnt3=0;
	for(i=1;i<=cnt;i++)
	{
		if(ll(p[i])*p[i]<=n)
			a1[++cnt1]=p[i];
		else
		{
			a2[++cnt2]=p[i];
			d[++cnt3]=p[i];
		}
		ans[i]=1;
	}
	for(i=1;i<=cnt1;i++)
	{
		ans[i]=1;
		for(j=a1[i];j<=n;j+=a1[i])
			a[j]++;
	}
	for(i=1;i<=cnt2;i++)
		c[a2[i]-1]=i;
	int x=0;
	for(i=cnt2;i>=1;i--)
	{
		for(j=a2[i];j<=n;j+=a2[i])
			if(c[j]&&a2[i]+j<=n-2)
			{
				x=i;
				ans[i+cnt1]=a2[i]+2;
				ans[c[j]+cnt1]=a2[i]+j+2;
				break;
			}
		if(x)
			break;
	}
	printf("%d\n",n+1);
	for(i=1;i<=tcnt;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}