当求解公式:(a/b)%m 时,因b可能会过大,会出现爆精度的情况,所以需变除法为乘法:

设c是b的逆元,则有b*c≡1(mod m);

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模;

逆元就是这样应用的;

所以逆元的用处可以说是很广的,很有必要掌握

1.费马小定理求逆元

适用范围:一般在mod是个素数的时候用,比扩欧快一点而且好写。

ll q_pow(ll a,ll n){
ll ans=; ll base=a;
while(n){
if(n&) ans=(ans*base)%mod;
base=base*base%mod;
n>>=;
}
return ans;
}
ll inv(ll a,ll b){
return q_pow(a,b-);
}

2.扩展欧几里得求逆元

适用范围:只要存在逆元即可求,适用于个数不多但是mod很大的时候,也是最常见的一种求逆元的方法。

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
if(!b) { d = a; x = ; y = ; }
else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}
ll inv(ll a, ll p)
{
ll d, x, y;
exgcd(a, p, d, x, y);
return d == ? (x+p)%p : -;
}

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