Deep Learning - 1 神经网络
Artificial Neuron
人工神经元有:
- Perceptrons(感知机)
- Sigmoid
Perceptron
感知机input是多个二进制,output是一个二进制。
x1((x1))-->B((perceptron))
x2((x2))-->B
x3((x3))-->B
B-->output((output))
感知机规则
\begin{cases}
0& \text{if } \sum_{j}w_{j}x_{j}\le \text{threshold}\\
1& \text{if } \sum_{j}w_{j}x_{j}\gt \text{threshold}
\end{cases}
\]
- x是evidence
- w是weight权值
- threshold是阈值
感知机通过赋予不同evidence权值,升高或降低threshold来达到作出决策的目的。
- 其中,$\sum_w_x_可以用向量点积表示为\cdot$
- threshold从不等式右侧移至左侧,并用bias(偏置)表示,\({b}\equiv{-threshold}\)
更新后的感知机规则:
\begin{cases}
0& {w}\cdot{x}+b\le0\\
1& {w}\cdot{x}+b\gt0
\end{cases}
\]
bias可以理解为使神经元被激活的容易度的度量。
我们通过设计 Learning Algorithm 去自动地调整 Network of Artificial Neuron 的 Weights 和 Biases。这种调整,可以对外部刺激作出响应。
Sigmoid Neurons
网络通过学习 Weights 和 Biases 以便最终正确地分类。我们希望在网络的 Weights 和 Biases 上作出一些小的改变时,只会引起输出上的小幅变化。只有这样,学习才变得可能。通过不断地修改 Weights 和Biases 来产生越来越好的结果。
如果网络中包含感知机的话,轻微的改变甚至会导致感知机的输出完全翻转,很难实现逐步改变 Weights 和 Biases 来使网络行为更加接近预期。
Sigmoid 神经元在轻微改变 Weights 和 Biases 时只会引起小幅的输出变化。这是由于 Sigmoid 神经元构成的网络能够学习的关键因素。
x1((x1))-->S((Sigmoid))
x2((x2))-->S
x3((x3))-->S
S-->O((Output))
输入和输出都是介于0到1之间的浮点数。
\]
将 Evidence,Weight,Bias 代入$\sigma$,输入是$\cdot+b$,输出是
\]
Sigmoid 神经元使用 \(\sigma\) 函数,如果将 \(\sigma\) 函数换成 Setp(阶跃) 函数,就变成了感知机。
\(\sigma\) 函数的平滑属性,让我们在 \(\triangle w_{j}\) 和 \(\triangle b\) 轻微改变时,神经元的输出也只是轻微地变化 \(\triangle output\)。
\(\sigma\) 有时也被称作 Logistic Function,对应的神经元被称为 Logistic Neurons。
Activation Function 主要有:
- Sigmoid
- Maxout
- ReLu
Loss Function 主要有:
- Mean Squared Error(均方误差)
- Cross Entropy(交叉熵)
神经网络的结构
- 一个神经元只有一个输出,多个输出箭头仅表示它的输出被用作其它几个神经元的输入。
- 这个网络有4层,2个隐藏层。
- Hidden Layers 的第1层通过赋予输入的 evidence 权重,做出了3个非常简单的决策。第2层赋权重给第1层的决策结果,来作出决策。通过这种形式,一个多层网络可以作出更加复杂精细的决策。
- 出于历史原因,这样的多层网络又叫做 Multilayer Perception(MLP)多层感知机。但是构成网络的并非感知机,而是 Sigmoid 神经元。
对于判断一个手写数字是不是9这个问题,我们使用$64\times64$的灰度图像。
输入层需要4096个神经元,每个神经元接收标准化的0-1之间的灰度值。
输出层需要一个神经元,用于分类。
Normalization
标准化是将数据按比例缩放,使之落入一个小的特定区间。
好处有
- 提升模型的收敛速度
- 可能提高模型的精度
方法有
Min-Max Normalization 线性归一化
\]
Z-Score Standardization
\]
非线性归一化
\]
FeedForward Neural Networks
前馈神经网络,是把上一层的输出,作为下一层的输入。信息总是向前传播,从不反向回馈。
用简单的网络结构去识别手写数字
数据是$28\times28$的灰度图像
- 输入层要784个神经元,接收0-1之间的标准化灰度值。
- 输出层要10个神经元,哪个神经元的激活值最高,我们认为数字是哪个。
- 隐藏层设置n个神经元,实验不同的n的取值。
神经网络从根本原理上在做什么?
为什么输出层用10个神经元?神经元输出二进制的话,$2^4=16$,用4个神经元就足够了。
隐藏层在做什么?
隐藏层的第1个神经元用于检测图像中是否存在特定模式。如果有,它会对特定模式在图像中对应部分的像素赋予较大的权重,对其它部分赋予较小的权重。
隐藏层的第2个神经元会检测另一种模式。如果有,也会给对应部分的像素较大权重,其它像素较小权重。
输出层在做什么?
输出层有10个神经元,它的第1个神经元通过权衡从隐藏层得到的信息,告诉我们这个数字是不是0。如果输出层的第1个神经元检测到隐藏层的某几个神经元被激活,那么可以推断这个数字是0。
Gradient Descent
Cost Function
代价函数,有的地方也叫
- Loss Function,损失函数
- Objective Function,目标函数
我们训练神经网络的目的,是寻找合适的 Weights 和 Biases 来最小化代价函数。
MSE代价函数:
\]
- y(x)是预期的输出结果
- a是激活函数的输出结果
梯度下降法
梯度下降法,是一种可以解决最小化问题的技术。
在$v_{1}\(方向上移动很小的量\)\triangle v_{1}$,在$v_{2}\(方向移动很小的量\)\triangle v_{2}$,C将会发生如下变化:
\]
- $\triangle C$是C的变化
- $\triangle v_{1}$是$v_{1}$的变化
- $\triangle v_{2}$是$v_{2}$的变化
我们用$\triangle v$来描述v的变化
\]
用$\nabla C$表示梯度向量
\]
这样,C发生的变化可以表示为
\]
如果想让C一直降低,$\triangle C$就得是负的。
我们可以这样选取$\triangle v$,以确保$\triangle C$为负数:
\]
$\eta$是很小的正数,也就是 Learning Rate。这样,
\]
从而保证$\triangle C \le 0$。
如果从为止v移动到v',变化$\triangle v$为
\]
然后反复迭代地更新,C会一直降低到我们想要寻找的全局最小值。
梯度下降法工作原理
梯度下降算法工作的方式是重复计算梯度$\nabla C$,然后沿着梯度的反方向运动,即下山坡。
同时,梯度下降法也被视为一种通过在C下降最快的方向上做微小变化,来使得C立即下降的方法。
Stochastic Gradient Descent
Cost Function可以这样写:
\]
\]
- $C_x$是每个独立训练样本的代价函数
- C是每个样本代价的平均值
这样,我们要为每个样本x单独计算梯度值$\nabla C_x$,然后求和再求平均值
\]
梯度下降可能会花费大量时间,学习缓慢。
SGD随机梯度下降,每次随机选取少量输入样本来计算$\nabla C_x$和$\nabla C$,少量样本可以快速得到梯度$\nabla C$,加快梯度下降过程,进而加速学习过程。
SGD工作原理
SGD将训练数据随机打散,然后划分为多个大小为m的 mini-batch 。
通过计算随机选取的mini-batch的梯度来估计整体的 Gradient ,更新 Weights 和 Biases 。
b_l \rightarrow b_l' = b_l - \eta \nabla C = b_l - \frac{\eta}{m} \sum_x \nabla C_x
\]
用这个 mini-batch 更新完 Weights 和 Biases 后,再选取另一个 mini-batch去训练,直到我们用完所有训练数据,就完成了一个 epoch 训练。
Online Learning
也叫 Incremental Learning ,是 mini-batch=1 时的梯度下降极端版本。
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