二叉树/DFS总结
二叉搜索树(Binary Search Tree,又名排序二叉树,二叉查找树,通常简写为BST)定义如下:
空树或是具有下列性质的二叉树:
()若左子树不空,则左子树上所有节点值均小于或等于它的根节点值;
()若右子树不空,则右子树上所有节点值均大于或等于它的根节点值;
()左、右子树也为二叉搜索树; BST 的特性
按照中序遍历(inorder traversal)打印各节点,会得到由小到大的顺序。
在BST中搜索某值的平均情况下复杂度为O(logN)O(logN),最坏情况下复杂度为O(N)O(N),其中N为节点个数。将待寻值与节点值比较,若不相等,则通过是小于还是大于,可断定该值只可能在左子树还是右子树,继续向该子树搜索。
在balanced BST中查找某值的时间复杂度为O(logN)O(logN)。 BST 的作用
通过中序遍历,可快速得到升序节点列表。
在BST中查找元素,平均情况下时间复杂度是O(logN)O(logN);插入新节点,保持BST特性平均情况下要耗时O(logN)。(参考链接)。
和有序数组的对比:有序数组查找某元素可以用二分法,时间复杂度是O(logN);但是插入新元素,维护数组有序性要耗时O(N)。
平衡二叉搜索树(Balanced Binary Search Tree,又称为AVL树,有别于AVL算法)是二叉树中的一种特殊的形态。二叉树当且仅当满足如下两个条件之一,是平衡二叉树:
空树
左右子树高度差绝对值不超过1且左右子树都是平衡二叉树 AVL树的高度为 O(logN)O(logN)
当AVL树有N个节点时,高度为O(logN)O(logN)。为何?
试想一棵满二叉树,每个节点左右子树高度相同,随着树高的增加,叶子容量指数暴增,故树高一定是O(logN)O(logN)。而相比于满二叉树,AVL树仅放宽一个条件,允许左右两子树高度差1,当树高足够大时,可以把1忽略。如图是高度为9的最小AVL树,若节点更少,树高绝不会超过8,也即为何AVL树高会被限制到O(logN)O(logN),因为树不可能太稀疏。严格的数学证明复杂,略去。 为何普通二叉树不是O(logN)O(logN)?这里给出最坏的单枝树,若单枝扩展,则树高为O(N)O(N): AVL树有什么用?
最大作用是保证查找的最坏时间复杂度为O(logN)。而且较浅的树对插入和删除等操作也更快。 AVL树的相关练习题
判断一棵树是否为平衡树
http://www.lintcode.com/problem/balanced-binary-tree/
提示:可以自下而上递归判断每个节点是否平衡。若平衡将当前节点高度返回,供父节点判断;否则该树一定不平衡。
• 二叉树(Binary Tree)问题的考点剖析
• 第一类考察形态:求值,求路径类二叉树问题
• 第二类考察形态:结构变化类二叉树问题
• 第三类考察形态:二叉查找树(Binary Search Tree)类问题
• 非递归(Iteration)版本的中序遍历(Inorder Traversal)
碰到二叉树的问题,就想想整棵树在该问题上的结果,和左右儿子在该问题上的结果之间的联系是什么。 考点都是基于树的深度优先搜索
第一类:
http://www.lintcode.com/en/problem/minimum-subtree/ Video 15:00
http://www.lintcode.com/en/problem/binary-tree-paths/ Video 27:00
http://www.lintcode.com/problem/lowest-common-ancestor/ Video 37:00
第二类:
http://www.lintcode.com/problem/flatten-binary-tree-to-linked-list/ Video 54:00
第三类:
https://www.lintcode.com/problem/kth-smallest-element-in-a-bst/ Video 1:19:30
http://www.lintcode.com/problem/binary-search-tree-iterator/
非递归的中序遍历:自己实现一个stack
Binary Search Tree Iterator
该 Iterator 算法即 non-recursion 的 inorder traversal,不仅仅适用于 BST,任何 Binary Tree 都可以
• stack 中保存一路走到当前节点的所有节点
• stack.peek() 一直指向 iterator 指向的当前节点
• hasNext() 只需要判断 stack 是否为空
• next() 只需要返回 stack.peek() 的值,并将 iterator 挪到下一个点,对 stack 进行相应的变化 挪到下一个点的算法如下:
• 如果当前点存在右子树,那么就是右子树中“一路向西”最左边的那个点
• 如果当前点不存在右子树,则是走到当前点的路径中,第一个左拐的点 相关题:
http://www.lintcode.com/problem/inorder-successor-in-binary-search-tree/
http://www.lintcode.com/problem/validate-binary-search-tree/ 不用递归
http://www.lintcode.com/problem/binary-tree-inorder-traversal/ 不用递归
Follow up: Video 1:39:00
https://www.lintcode.com/problem/closest-binary-search-tree-value/ Video: 1:47:40
Follow up: https://www.lintcode.com/problem/closest-binary-search-tree-value-ii
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Search Range in Binary Search Tree
• http://www.lintcode.com/problem/search-range-in-binary-search-tree/
Insert Node in a Binary Search Tree
• http://www.lintcode.com/problem/insert-node-in-a-binary-search-tree/
Remove Node in a Binary Search Tree
• http://www.lintcode.com/problem/remove-node-in-binary-search-tree/
• http://www.mathcs.emory.edu/~cheung/Courses/171/Syllabus/9-BinTree/BST-delete.html
一个狗家高频题... Leetcode 222
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, x):
# self.val = x
# self.left = None
# self.right = None class Solution:
def countSubNodes(self, root):
if(root==None):
return 0
hl=0
rl=root.left
hr=0
rr=root.right
while(rl!=None):
hl+=1
rl=rl.left
while(rr!=None):
hr+=1
rr=rr.right
if(hl==hr):
return int(math.pow(2,hl+1))-1
else:
return self.countSubNodes(root.left) + self.countSubNodes(root.right) + 1 def countNodes(self, root):
"""
:type root: TreeNode
:rtype: int
"""
return self.countSubNodes(root)
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