题解-bzoj4320 Homework

Problem

bzoj4320

Solution

前置技能：分块+线段树+卡常+一点小小的数学知识

考试时A的

这种题无论怎么处理总有瓶颈，套路分块，设\(k\)以下的插入时直接暴力预处理，查询时直接调用；\(k\)以上的插入时不管，查询时线段树查找每个模意义下的区间

核心代码：

if(opt[0]=='A'){
	for(rg int i=1;i<=k;++i)f[i]=min(f[i],x%i);
	update(1,n,1,x);
}
else
	if(x<=k)printf("%d\n",f[x]);
	else {
		int res(inf);
		for(rg int i=0;i<=n;i+=x)
			res=min(res,query(1,n,1,max(1,i),min(i+x-1,n))-i);
		printf("%d\n",res);
	}

考虑到当分界线为\(k\)，变量为\(x\)时，插入复杂度为\(O(k)\)，查询时复杂度为\(O(1)\)或\(O(\frac nx\log_2n)\leq O(\frac nk\log_2n)\)

如果直接采用大众分块做法（块大小为\(\sqrt n\)），则算法瓶颈为\(O(\sqrt n \log_2n)\)，总体复杂度\(O(n\sqrt n\log_2n)\)无法通过此题

考虑算法瓶颈，总体单次复杂度为\(O(k+\frac nk\log_2n)\)，利用基本不等式\(a+b\geq 2\sqrt{ab}\)，得知总体单次复杂度最小为\(O(2\sqrt{k\cdot \frac nk \log_2n})=O(\sqrt{n\log_2n})\)，而满足这个不等式取等的条件是\(a=b\Leftrightarrow k=\frac nk \log_2n\Leftrightarrow k=\sqrt {n\log_2n}\)，再考虑上取膜运算和线段树的常数因子影响，取\(k=1732\)时最优

注意，以上并非平均情况下的最优，而是最差情况下的最优（一般情况下\(k=\sqrt n\)的程序甚至更快），也就是说，如果出题人看了你的程序，精心构造数据卡你，\(k=1732\)的程序被卡后是最快的，可以保证复杂度在\(O(n\sqrt {n \log_2 n})\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rg register

template <typename _Tp> inline _Tp read(_Tp&x){
	char c11=getchar(),ob=0;x=0;
	while(c11^'-'&&!isdigit(c11))c11=getchar();if(c11=='-')c11=getchar(),ob=1;
	while(isdigit(c11))x=x*10+c11-'0',c11=getchar();if(ob)x=-x;return x;
}

const int N=301000,inf=0x7fffffff;
int f[N],s[N<<2],fc[N];
int Q,k,n=300000;

void pre(){// 1817|1732
	k=1732;
	for(rg int i=1;i<=k;++i)f[i]=inf;
/*	fc[0]=-1;
	for(rg int i=1;i<=n;++i)fc[i]=fc[i>>1]+1;
	double mi=inf,tp;k=1;
	for(rg int i=2;i<=n;++i)
		if((tp=abs(i*i-1.0*n*fc[i]))<1.0*mi)mi=tp,k=i;*/
}

void build(int l,int r,int x){
	s[x]=inf;
	if(l==r)return ;
	int mid(l+r>>1);
	build(l,mid,x<<1);
	build(mid+1,r,x<<1|1);
	return ;
}

inline void update(int l,int r,int x,int ps){
	if(l==r){s[x]=l;return ;}
	int mid(l+r>>1);
	if(ps<=mid)update(l,mid,x<<1,ps);
	else update(mid+1,r,x<<1|1,ps);
	s[x]=min(s[x<<1],s[x<<1|1]);return ;
}

inline int query(int l,int r,int x,int L,int R){
	if(L<=l&&r<=R)return s[x];
	int mid(l+r>>1),res(inf);
	if(L<=mid)res=min(res,query(l,mid,x<<1,L,R));
	if(mid<R)res=min(res,query(mid+1,r,x<<1|1,L,R));
	return res;
}

int main(){
	freopen("f.in","r",stdin);
	freopen("f.out","w",stdout);
	pre();read(Q);
	build(1,n,1);
	char opt[2];int x;
	while(Q--){
		scanf("%s",opt);read(x);
		if(opt[0]=='A'){
			for(rg int i=1;i<=k;++i)f[i]=min(f[i],x%i);
			update(1,n,1,x);
		}
		else
			if(x<=k)printf("%d\n",f[x]);
			else {
				int res(inf);
				for(rg int i=0;i<=n;i+=x)
					res=min(res,query(1,n,1,max(1,i),min(i+x-1,n))-i);
				printf("%d\n",res);
			}
	}return 0;
}