【机器人M号】题解
题目
题目描述
3030年,Macsy正在火星部署一批机器人。 第1秒,他把机器人1号运到了火星,机器人1号可以制造其他的机器人。 第2秒,机器人1号造出了第一个机器人——机器人2号。 第3秒,机器人1号造出了另一个机器人——机器人3号。 之后每一秒,机器人1号都可以造出一个新的机器人。第m秒造出的机器人编号为m。我们可以称它为机器人m号,或者m号机器人。 机器人造出来后,马上开始工作。m号机器人,每m秒会休息一次。比如3号机器人,会在第6,9,12,……秒休息,而其它时间都在工作。 机器人休息时,它的记忆将会被移植到当时出生的机器人的脑中。比如6号机器人出生时,2,3号机器人正在休息,因此,6号机器人会收到第2,3号机器人的记忆副本。我们称第2,3号机器人是6号机器人的老师。 如果两个机器人没有师徒关系,且没有共同的老师,则称这两个机器人的知识是互相独立的。注意:1号机器人与其他所有机器人的知识独立(因为只有1号才会造机器人),它也不是任何机器人的老师。一个机器人的独立数,是指所有编号比它小且与它知识互相独立的机器人的个数。比如1号机器人的独立数为0,2号机器人的独立数为1(1号机器人与它知识互相独立),6号机器人的独立数为2(1,5号机器人与它知识互相独立,2,3号机器人都是它的老师,而4号机器人与它有共同的老师——2号机器人)。 新造出来的机器人有3种不同的职业。对于编号为m的机器人,如果能把m分解成偶数个不同奇素数的积,则它是政客,例如编号15;否则,如果m本身就是奇素数或者能把m分解成奇数个不同奇素数的积,则它是军人,例如编号 3, 编号165。其它编号的机器人都是学者,例如编号2, 编号6, 编号9。 第m秒诞生的机器人m号,想知道它和它的老师中,所有政客的独立数之和,所有军人的独立数之和,以及所有学者的独立数之和。可机器人m号忙于工作没时间计算,你能够帮助它吗? 为了方便你的计算,Macsy已经帮你做了m的素因子分解。为了输出方便,只要求输出总和除以10000的余数。
输入
输入文件的第一行是一个正整数k(1<=k<=1000),k是m的不同的素因子个数。 以下k行,每行两个整数,pi, ei,表示m的第i个素因子和它的指数(i = 1, 2, …, k)。p1, p2, …, pk是不同的素数。所有素因子按照从小到大排列,即p1<p2<…<pk。输入文件中,2<=pi<10,000, 1<=ei<=1,000,000。
输出
输出文件包括三行。 第一行是机器人m号和它的老师中,所有政客的独立数之和除以10000的余数。 第二行是机器人m号和它的老师中,所有军人的独立数之和除以10000的余数。 第三行是机器人m号和它的老师中,所有学者的独立数之和除以10000的余数。
样例输入
3
2 1
3 2
5 1
样例输出
8
6
75
样例解释
m=23^25=90。90号机器人有10个老师,加上它自己共11个。其中政客只有15号;军人有3号和5号;学者有8个,它们的编号分别是:2,6,9,10,18,30,45,90。
分析
很容易看出M的独立数就是与M互质的数,欧拉函数φ(M)指与M互质的数的个数,
如果M为P1e1*P2e2...Pkek(Pi是质因数),欧拉函数公式为φ(M)=(P1-1)P1(e1-1) (P2-1)P2^(e2-1) ... (Pk-1)Pk^(ek-1)
令f[i]指选i个奇质数的独立数之和,显然递推式就是:
f[j]=(f[j]+f[j-1]*(zs[i][1]-1))%10000//zs[i][1]为第i个质数(即p[i]),zs[i][2]为第i个质数的指数(即e[i])
那么政客的独立数之和就是当i%2=0的f[i]的总和,军人的独立数之和就是当i%2=1的f[i]的总和。而学者的独立数之和就是小于M的M的所有的约数的独立数之和,减去政客和军人的独立数之和,再减去1(因为1号机器人与其他所有机器人的知识独立,它也不是任何机器人的老师。)。小于M的M的所有的约数的独立数之和显然为:$$\sum_{d|M}\phi(d)$$
实际上$$\sum_{d|M}\phi(d)=M$$(这里有证明http://blog.csdn.net/chen1352/article/details/50695930)。
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int zs[11000][3],n,m,tot,f[1100];
int mi(int x,int y)
{
int t=1;
while(y>0)
{
if(y&1) t=t*x%10000;
x=x*x%10000;
y>>=1;
}
return t;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
int i,j,k,l;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&zs[i][1],&zs[i][2]);
}
int ans1=0,ans2=0,ans=0;/*ans2是政客,ans1是军人,ans是学者*/
int g;
if(zs[1][1]==2)
g=2;
else g=1;
f[0]=1;
for(i=g;i<=n;i++)
for(j=i-g+1;j>=1;j--)
f[j]=(f[j]+f[j-1]*(zs[i][1]-1))%10000;
for(i=n-g+1;i>=1;i--)
{
if(i%2)
ans1=(f[i]+ans1)%10000;
else ans2=(ans2+f[i])%10000;
}
ans=1;
for(i=1;i<=n;i++)
ans=(ans*mi(zs[i][1],zs[i][2]))%10000;
ans=(ans+3000000-ans1-ans2-1)%10000;
cout<<ans2<<endl<<ans1<<endl<<ans<<endl;
}
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