题意简述:

在一个格点图中 给定一个凸$n$边形(每个定点均在格点上),随机选择其中一些点构成一个子多边形,

求子多边形的内部点个数的期望。

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首先这题是需要知道 皮克定理 这个结论的

我们用 $s$代表多边形面积 $ans$代表内部点数(即要求的答案)$node$代表边上的格点

公式即为 $ans=s-\frac{node}{2}+1$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

然后这题是求期望的 对于期望 我们知道它是满足分配率的 于是我们可以考虑分别求出$s$和$node$的期望

对于$s$的期望 可以这样考虑(算贡献)

每次选出一个子多边形后 剩余部分显然是可以用多个顶点连续的多边形补成的

我们可以用前缀和维护这个顶点连续的多边形的面积 然后来算贡献

公式为$\displaystyle \frac{2^{n-i} -1}{2^n-1-n-C_2^n}*$子多边形面积

直接求出所有是$O(n^2)$的 然而观察公式我们可以发现i取较大的数的时候对答案的影响是很小的

综合考虑题目要求的$10^{-9}$的相对误差以及$double$的精度 $i$的上界$lim$可以取$min(n,60)$

$node$的求法也是类似的 只要熟悉如何算贡献就比较容易了 想了很久还不懂的话可以留言

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

这样我们就可以过掉样例了 然后我们会$ WA  10$

因为$double$不仅仅是精度限制 还有范围限制 大概范围就是 $(10^{300}~10^{-300})$

这个问题 初次遇见还是很纠结的 多想想后 我们发现可以把公式变形成这样(上下同时除$2^n$):

$\displaystyle\frac{2^{-i} -1}{1-2^{-n}*(1+n+C_n^2)}*$子多边形面积

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

差不多就是这些了 第一次写$div1D$题 还有些小激动呢

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+;
double polygon[N],p[N];
int x[N],y[N];
double s,ans,node,product;
int n,lim;
double cross(long long x1,long long y1,long long x2,long long y2)
{
return x1*y2-x2*y1;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
lim=min(n,);
p[]=;
for(int i=;i<n;++i)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
p[i+]=p[i]*0.5;
}
for(int i=;i<lim;++i)
{
product=(p[i]-p[n])/
(-p[n]*((long long)n*(n-)/+n+));
for(int j=;j<n;++j)
{
polygon[j]+=cross(x[(j+i-)%n]-x[j],y[(j+i-)%n]-y[j],
x[(j+i-)%n]-x[j],y[(j+i-)%n]-y[j]);
s-=product*polygon[j];
}
}
for(int i=;i<n-;++i)
s+=cross(x[i+]-x[],y[i+]-y[],
x[i+]-x[],y[i+]-y[]);
s/=;
for(int i=;i<=lim;++i)
{
product=(p[i]-p[n])/
(-p[n]*((long long)n*(n-)/+n+));
for(int j=;j<n;++j)
node+=product*__gcd(abs(x[(j+i-)%n]-x[j]),
abs(y[(j+i-)%n]-y[j]));
}
ans=s-node/+;
printf("%.10f\n",ans);
return ;
}

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