POJ 3761 Bubble Sort

题目链接：https://vjudge.net/problem/POJ-3761

转自：https://blog.csdn.net/cscj2010/article/details/7820906

题目大意

 　　含 n 个不同元素的排列恰好经过 k 趟冒泡排序变得有序。问原数组有多少种排列情况？

分析

　　第一眼看上去觉得是个 DP，最后发现是个数学题，认栽。。。

　　

　　首先，定义 f(x) 表示在数组中位于元素 x 左面且大于 x 的个数。那么有$0 \leq f(x) \leq n - x$。

　　定义 g(x) 为经过不超过 x 趟排序的排列数。于是答案就为 g(k) - g(k - 1)。

　　由题意得$k = f(x)_{max}$，因为冒泡每次直冒一个数，因此每轮只有一个数会冒到 x 后面，对其他数也是一样，也就是每一趟排序$对\forall_{1 \leq x \leq n, f(x) > 0} f(x) = f(x) - 1$。

　　接下来推 g(k)。

　　由于$k \geq n - x$，所以$x \geq n - k$。

　　所以当$x \geq n - k$时，放哪里都可以；而当$x < n - k$时，某些地方是不能放的。

　　先放后 k 个数，一种有 k! 种排列。

　　对于前 n - k 个数，从小到大排列，然后与后 k 个数的排列合并：$[1, 2, 3, \dots, n - k, a_1, a_2, \dots, a_k]$。

　　从 1 开始，1 可以不动，也可以与数组中比它大的前 k 个数中的某一个对调，有 k + 1 种。

　　2 在 1 的基础上同理，也有 k + 1 种。

　　于是前 n - k 个数总共有$(k + 1)^{n - k}$种。

　　那这样做会不会有重复呢？不可能，因为是从小到大遍历的，所以 x 一旦调出去，就不可能再被调回来。

　　因此$g(k) = (k + 1)^{n - k} * k!$。

　　所以$g(k) - g(k - 1) = k! * ((k + 1)^{n - k} - k^{n - k})$。

代码如下

 #include <cmath>
 #include <ctime>
 #include <iostream>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <algorithm>
 #include <cctype>
 #include <stack>
 #include <deque>
 #include <list>
 #include <sstream>
 #include <cassert>
 using namespace std;

 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)

 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl

 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))

 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
 #define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
 #define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // 删去 x 中所有 c
 #define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
 #define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);

 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

 #define MP make_pair
 #define PB push_back
 #define ft first
 #define sd second

 template<typename T1, typename T2>
 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     in >> p.first >> p.second;
     return in;
 }

 template<typename T>
 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     for (auto &x: v)
         in >> x;
     return in;
 }

 template<typename T1, typename T2>
 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "\n";
     return out;
 }

 inline int gc(){
     static const int BUF = 1e7;
     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;

     if(bg == ed) fread(bg = buf, , BUF, stdin);
     return *bg++;
 } 

 inline int ri(){
     int x = , f = , c = gc();
     for(; c<||c>; f = c=='-'?-:f, c=gc());
     for(; c>&&c<; x = x* + c - , c=gc());
     return x*f;
 }

 template<class T>
 inline string toString(T x) {
     ostringstream sout;
     sout << x;
     return sout.str();
 }

 inline int toInt(string s) {
     int v;
     istringstream sin(s);
     sin >> v;
     return v;
 }

 //min <= aim <= max
 template<typename T>
 inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
     return min <= aim && aim <= max;
 }

 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long uLL;
 typedef pair< double, double > PDD;
 typedef pair< int, int > PII;
 typedef pair< int, PII > PIPII;
 typedef pair< string, int > PSI;
 typedef pair< int, PSI > PIPSI;
 typedef set< int > SI;
 typedef set< PII > SPII;
 typedef vector< int > VI;
 typedef vector< double > VD;
 typedef vector< VI > VVI;
 typedef vector< SI > VSI;
 typedef vector< PII > VPII;
 typedef map< int, int > MII;
 typedef map< LL, int > MLLI;
 typedef map< int, string > MIS;
 typedef map< int, PII > MIPII;
 typedef map< PII, int > MPIII;
 typedef map< string, int > MSI;
 typedef map< string, string > MSS;
 typedef map< PII, string > MPIIS;
 typedef map< PII, PII > MPIIPII;
 typedef multimap< int, int > MMII;
 typedef multimap< string, int > MMSI;
 //typedef unordered_map< int, int > uMII;
 typedef pair< LL, LL > PLL;
 typedef vector< LL > VL;
 typedef vector< VL > VVL;
 typedef priority_queue< int > PQIMax;
 typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
 const double EPS = 1e-;
 const LL inf = 0x3fffffff;
 const LL infLL = 0x3fffffffffffffffLL;
 const LL mod = ;
 const int maxN = 1e6 + ;
 const LL ONE = ;
 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
 const LL oddBits = 0x5555555555555555;

 LL T, N, K, ans;

 LL mul_mod(LL a, LL b) {
     return (a * b) % mod;
 }

 LL sub_mod(LL a, LL b) {
     return (a - b + mod) % mod;
 }

 LL fac[maxN];
 void init_fact() {
     fac[] = ;
     For(i, , maxN - ) fac[i] = (i * fac[i - ]) % mod;
 }

 inline LL pow_mod(LL x, LL y, LL p = mod){
     LL ret = ;
     while(y){
         if(y & ) ret = (ret * x) % p;
         x = (x * x) % p;
         y >>= ;
     }
     return ret;
 } 

 int main(){
     //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
     //freopen("input.txt","r",stdin);
     //INIT();
     init_fact();
     scanf("%lld", &T);
     while(T--) {
         scanf("%lld%lld", &N, &K);
         ans = mul_mod(fac[K], sub_mod(pow_mod(K + , N - K), pow_mod(K, N - K)));
         printf("%lld\n", ans);
     }
     return ;
 }