(一)树状数组的概念

如果给定一个数组,要你求里面所有数的和,一般都会想到累加。但是当那个数组很大的时候,累加就显得太耗时了,时间复杂度为O(n),并且采用累加的方法还有一个局限,那就是,当修改掉数组中的元素后,仍然要你求数组中某段元素的和,就显得麻烦了。所以我们就要用到树状数组,他的时间复杂度为O(lgn),相比之下就快得多。下面就讲一下什么是树状数组:

一般讲到树状数组都会少不了下面这个图:

下面来分析一下上面那个图看能得出什么规律:

据图可知:c1=a1,c2=a1+a2,c3=a3,c4=a1+a2+a3+a4,c5=a5,c6=a5+a6,c7=a7,c8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8,c9=a9,c10=a9+a10,c11=a11........c16=a1+a2+a3+a4+a5+.......+a16。

分析上面的几组式子可知,当 i 为奇数时,ci=ai ;当 i 为偶数时,就要看 i 的因子中最多有二的多少次幂,例如,6 的因子中有 2 的一次幂,等于 2 ,所以 c6=a5+a6(由六向前数两个数的和),4 的因子中有 2 的两次幂,等于 4 ,所以 c4=a1+a2+a3+a4(由四向前数四个数的和)。

(一)有公式:cn=a(n-a^k+1)+.........+an(其中 k 为 n 的二进制表示中从右往左数的 0 的个数)。

那么,如何求 a^k 呢?求法如下:

 int lowbit(int x) //取x的最低位1,比如4,则返回4,如5,则返回1
{
return x&(-x);
}

lowbit()的返回值就是 2^k 次方的值。

求出来 2^k 之后,数组 c 的值就都出来了,接下来我们要求数组中所有元素的和。

(二)求数组的和的算法如下:

(1)首先,令sum=0,转向第二步;

(2)接下来判断,如果 n>0 的话,就令sum=sum+cn转向第三步,否则的话,终止算法,返回 sum 的值;

(3)n=n - lowbit(n)(将n的二进制表示的最后一个零删掉),回第二步。

代码实现:

 int Sum(int i)   //求前i项的和
{
int s = ;
//将前i项分段
while(i > )
{
s += sum[i];
i -= lowbit(i); //去掉i的二进制最后一个
}
return s;
}

(三)当数组中的元素有变更时,树状数组就发挥它的优势了,算法如下(修改为给某个节点 i 加上 x ):

(1)当 i<=n 时,执行下一步;否则的话,算法结束;

(2)ci=ci+x ,i=i+lowbit(i)(在 i 的二进制表示的最后加零),返回第一步。

代码实现:

 void update(int i, int val)  //将第i个元素增加val
{
//i的祖先都要增加val
while(i <= n)
{
sum[i] += val;
i += lowbit(i); //将i的二进制未位补为得到其祖先
}
}

(二)树状数组的应用

以下数组下标均默认从1开始

应用一

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i],b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)小于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,1,1,2,0}。 那么该如何去求得b[i]呢?

解法:假如要得到b[4]的值,对于a[4] = 4. 我们 只要得到在a[1],a[2],a[3] 中出现小于等于4的个数,即1,2,3,4的个数,此例即为2. a[1] = 2 < a[4], a[3] = 3 < a[4]. 所以b[4] = 2;其他的以此类推. 求b[i]的值,需要得到在a[1],a[2]....a[i-1]中出现小于等于a[i]的个数,即1,2...a[i]的个数. 相当于求前a[i]项的和,可用到树状数组.

具体操作

for(int i=1; i<=n; i++)

{

b[i] = getSum(a[i]); //求前a[i]项的和

update(a[i],1);      //第a[i]个元素+1

}

应用二

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i],b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)大于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,0,1,1,4}。 那么该如何去求得b[i]呢?

解法1: 只需要先将数组a倒过来编号,即将a转换为,a[] ={4,1,3,2,5}.此时具体的操作如应用一

以下数组下标均默认从1开始

应用一

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i],b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)小于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,1,1,2,0}。 那么该如何去求得b[i]呢?

解法:假如要得到b[4]的值,对于a[4] = 4. 我们 只要得到在a[1],a[2],a[3] 中出现小于等于4的个数,即1,2,3,4的个数,此例即为2. a[1] = 2 < a[4], a[3] = 3 < a[4]. 所以b[4] = 2;其他的以此类推. 求b[i]的值,需要得到在a[1],a[2]....a[i-1]中出现小于等于a[i]的个数,即1,2...a[i]的个数. 相当于求前a[i]项的和,可用到树状数组.

具体操作

for(int i=1; i<=n; i++)

{

b[i] = getSum(a[i]); //求前a[i]项的和

update(a[i],1);      //第a[i]个元素+1

}

应用二

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i],b[i] 表示在a[1],a[2]...a[i-1]中(即位置i的左边)大于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {0,0,1,1,4}。 那么该如何去求得b[i]呢?

解法1: 只需要先将数组a倒过来编号,即将a转换为,a[] ={4,1,3,2,5}.此时具体的操作如应用一

解法2:改变更新路径和求和路径

 void update(int x, int val)
{
for(int i=x; i>; i-=lowbit(i))
{
sum[i] += val;
}
} int getSum(int x)
{
int s = ;
for(int i=x; i<MAXN; i+=lowbit(i))
{
s += sum[i];
}
return s;
}

应用三  逆序数

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i],b[i] 表示在a[i],a[i+1]...a[n]中(即位置i的右边)小于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {1,3,1,1,0}。 那么该如何去求得b[i]呢?

操作:应用一位置i的左边,应用三是位置i的右边。 然后只需要在应用一的基础上从后往前操作即可

 for(int i=n; i>=; i--)

 {

 b[i] = getSum(a[i]); //求前a[i]项的和

 update(a[i],);      //第a[i]个元素+1

 }

应用四

假如给你一个数组a[ ] = {2,5,3,4,1},求b[i],b[i] 表示在a[i],a[i+1]...a[n]中(即位置i的右边)大于等于a[i]的数的个数。对此例b[] = {3,0,1,0,0}。 那么该如何去求得b[i]呢?

操作:只需将数组a倒过来编号,即将a转化为 a[]={4,1,3,2,5} 然后利用应用三

二维树状数组

 int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
} void update(int x, int y, int val) //将 a[x][y] 的值增加val
{
for(int i=x; i<N; i+=lowbit(i))
{
for(int j=y; j<N; j+=lowbit(j))
{
sum[i][j] += val;
}
}
} int getSum(int x, int y) //求以1,1为左上角端点,学校,x,y为右下角端点的矩阵和.
{
int s = ;
for(int i=x; i>; i-=lowbit(i))
{
for(int j=y; j>; j-=lowbit(j))
{
s += sum[i][j];
}
}
return s;
}

(三)例题

基础应用

HDU 1166 敌兵布阵(树状数组)

http://www.cnblogs.com/ws5167/p/3904004.html

HDU 2689 Sort it (树状数组)

http://www.cnblogs.com/ws5167/p/3915614.html

HDU 2492 Ping pong (树状数组)

HDU Cow Sorting (树状数组)

二维树状数组

HDU1559 最大子矩阵 (二维树状数组)

HDU 1892 See you~ (二维树状数组)

三维树状数组

HDU 3584 Cube (三维 树状数组)

树状数组求逆序数

HDU 1394 Minimum Inversion Number ( 树状数组求逆序数 )

DP+树状数组+离散化

HDU 2227 Find the nondecreasing subsequences (DP+树状数组+离散化)

 
 

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