LG3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY

题意

P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为\(1\cdots N\)的\(N\)件玩具，第\(i\)件玩具经过压缩后变成一维长度\(C_i\).为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第\(i\)件玩具到第\(j\)个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为\(x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k\)制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为\(x\),其制作费用为\((X-L)^2\).其中\(L\)是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过\(L\)。但他希望费用最小.

\(N \leq 50000\)

分析

明显的dp，\(dp[i]\)表示前\(i\)个的最小花费。
\[
dp[i]=\min_{j<i} \{ dp[j]+(i-j-1+c[i]-c[j]-L)^2 \}
\]
其中\(c\)表示前缀和。

然后呢？拆开？

其实我开始是这么想的。然后看了一下题解，发现可以发挥信息学的优势。令\(a[i]=i+c[i]-L-1,b[i]=c[i]+i\)，那么就很简单了。

令\(j>k\)，且\(j\)比\(k\)优，则
\[
\frac{dp[j]+b[j]^2-dp[k]-b[k]^2}{b[j]-b[k]}<2a[i]
\]
小于单调增，下凸包+单调队列。

时间复杂度\(O(n)\)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<cassert>
#include<ctime>
#include<cstring>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
    rg T data=0;
    rg int w=1;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        data=data*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return data*w;
}
template<class T>T read(T&x)
{
    return x=read<T>();
}
using namespace std;
typedef long long ll;

co int N=5e4+2;
ll c[N];
ll a[N],b[N];
ll dp[N];

ll Up(int j,int k)
{
    return dp[j]+b[j]*b[j]-dp[k]-b[k]*b[k];
}

ll Down(int j,int k)
{
    return b[j]-b[k];
}

ll Cal(int i,int j)
{
    return dp[j]+a[i]*a[i]-2*a[i]*b[j]+b[j]*b[j];
}

int q[N];

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    int n=read<int>(),L=read<int>();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        c[i]=c[i-1]+read<int>();
        a[i]=i+c[i]-L-1;
        b[i]=c[i]+i;
    }
    int head=0,tail=0;
    q[tail++]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(head+1<tail&&Up(q[head+1],q[head])<=2*a[i]*Down(q[head+1],q[head]))
            ++head;
        dp[i]=Cal(i,q[head]);
        while(head+1<tail&&Up(i,q[tail-1])*Down(q[tail-1],q[tail-2])<=Up(q[tail-1],q[tail-2])*Down(i,q[tail-1]))
            --tail;
        q[tail++]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}