51Nod1957 有限背包计数问题

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这题还挺有意思……

先贴一波出题人的题解……

(啥你说你看不见？看来你还没过啊，等着A了再看或者乖乖花点头盾好了……)

然后是我的做法……思想都是一样的，只是细节不一样而已……

令$B=\lceil \sqrt{n}\rceil$，把物品分$\ge B$和$<B$两类考虑：

对于大小$<B$的物品，直接用多重背包计数的方法去做即可，令$f[i][j]$表示使用前$i$个物品凑出$j$的方案数，显然有

\begin{align}f[i][j]=\sum_{k=0}^i f[i-1][j-ki]\end{align}

直接算的话时间肯定会爆炸，所以简单变形一下，得到

$f[i][j]=f[i][j-i]+f[i-1][j]-f[i-1][i(i+1)]$

应该不难理解，就是对上一个状态的转移区间做一下微调，加上右端点并减掉左端点。

这样每个状态的计算时间就变成$O(1)$了，而总共有$O(n\sqrt{n})$个状态，因此这部分的复杂度就是$O(n\sqrt{n})$。

对于大小$\ge B$的物品，显然这些物品是用不完的，直接当作完全背包处理即可。又因为这些物品最多使用$\lfloor \frac n B\rfloor$个，因此可以令$g[i][j]$表示强制只能使用大小$\ge B$的物品时用$i$个物品凑出$j$的方案数。

直接算不太好算，我们考虑给物品动态添加大小：

$g[i][j]=g[i-1][j-B]+g[i][j-i]$

前一种是添加一个大小为$B$的物品，后一种是把所有物品的大小都$+1$，应该不难看出来这样可以做到不重不漏地统计所有方案。

使用的物品数不会超过$\sqrt{n}$，因此状态数仍然是$O(n\sqrt{n})$，单次转移$O(1)$，这样后半部分的复杂度就也是$O(n\sqrt{n})$了。

最后合并两部分的结果即可，显然有

\begin{align}Ans=\sum_{i=0}^n f[n-i]\sum_{j=0}^{\lfloor\frac n B\rfloor}g[j][n-i]\end{align}

直接算是$O(n\sqrt{n})$的，如果在算$g$的时候顺便算一下$h[j]=\sum_i g[i][j]$的话可以降到$O(n)$，再加上分块DP的复杂度，总复杂度就是$O(n\sqrt{n})$。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxn=,p=;
 int n,B,f[][maxn]={{}},g[][maxn]={{}},h[maxn]={},cur=,ans=;
 int main(){
     scanf("%d",&n);
     B=(int)ceil(sqrt(n));
     f[][]=g[][]=h[]=;
     for(int i=;i*B<=n;i++){
         cur^=;
         for(int j=(i-)*B;j<i*B;j++)g[cur][j]=;
         for(int j=i*B;j<=n;j++){
             g[cur][j]=g[cur^][j-B];
             if(j>=i)g[cur][j]=(g[cur][j]+g[cur][j-i])%p;
             h[j]=(h[j]+g[cur][j])%p;
         }
     }
     cur=;
     for(int i=;i<B;i++){
         cur^=;
         for(int j=;j<=n;j++){
             f[cur][j]=f[cur^][j];
             if(j>=i){
                 f[cur][j]=(f[cur][j]+f[cur][j-i])%p;
                 if(j>=i*(i+))f[cur][j]=(f[cur][j]-f[cur^][j-i*(i+)])%p;
             }
         }
     }
     for(int i=;i<=n;i++)ans=(ans+(int)((long long)f[cur][i]*h[n-i]%p))%p;
     if(ans<)ans+=p;
     printf("%d",ans);
     return ;
 }

话说听说这题有多项式乘法加速的$O(n\log n)$做法，然而翻了翻51Nod的排行榜并没有看到写这种做法的……看了半天OEIS也没看懂怎么用多项式乘法加速，算了反正分块跑得也挺快我就用分块算了……