HDU 2829 Lawrence（斜率优化DP O（n^2））

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2829

题目大意：有一段铁路有n个站，每个站可以往其他站运送粮草，现在要炸掉m条路使得粮草补给最小，粮草补给的公式是将每个站能收到的粮草的总和。

4----5-----1-----2

粮草总和为4*5 + 4*1 + 4*2 + 5*1 + 5*2 + 1*2 = 49.

4----5       1-----2

粮草总和为4*5 + 1*2 = 22.

4      5-----1------2

粮草总和为5*1 + 5*2 + 1*2 = 17.

解题思路：数组dp[i][j]表示第i个位置炸成j段的最小价值，cost[i][j]表示i~j这段的价值，则得到状态转移方程：

　　　　　dp[i][j]=min{dp[k][j-1]+cost[k+1][i]}.(k<i)，复杂度为O（n^3）显然会超时

　　　　　易得cost[1][i]=cost[1][k]+cost[k+1][i]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])

　　　　　则cost[k+1][i]=cost[1][i]-cost[1][k]+sum[k]^2-sum[k]*sum[i].

　　　　　使用cost[i]表示cost[1][i]得，dp[i][j]=min{dp[k][j-1]+cost[i]-cost[k]+sum[k]^2-sum[k]*sum[i]}.　　　

　　　　　可以得出 y=dp[k][j-1]-cost[1][k]+sum[k]^2

　　　　　x=sum[k].

　　　　　斜率sum[i]。

　　　　　用斜率优化，将复杂度降为O（n^2）即可。

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int N=1e3+;
 int dp[N][N],sum[N],cost[N],q[N],head,tail;
 
 //yj-yk/xj-xk
 double Slope(int m,int k,int j){
     return double(dp[j][m-]+sum[j]*sum[j]-cost[j]-dp[k][m-]-sum[k]*sum[k]+cost[k])/(sum[j]-sum[k]);
 }
 
 //dp[i][j]=min{dp[k][j-1]+cost[i]-cost[k]-sum[k]*(sum[i]-sum[k])}
 int getDP(int i,int j,int k){
     return dp[k][j-]+cost[i]-cost[k]-sum[k]*(sum[i]-sum[k]);
 }
 
 int main(){
     int n,m;
     while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
         if(m==&&n==)
             break;
         memset(cost,,sizeof(cost));
         sum[]=;
         for(int i=;i<=n;i++){
             scanf("%d",&sum[i]);
             sum[i]+=sum[i-];
         }
         for(int i=;i<=n;i++){
             for(int j=;j<i;j++){
                 cost[i]+=(sum[j]-sum[j-])*(sum[i]-sum[j]);
             }
             dp[i][]=cost[i];
         }
         for(int j=;j<=m+;j++){
             head=tail=;
             q[tail++]=j-;
             for(int i=j;i<=n;i++){
                 while(head+<tail&&Slope(j,q[head],q[head+])<=sum[i]){
                     head++;
                 }
                 dp[i][j]=getDP(i,j,q[head]);
                 while(head+<tail&&Slope(j,q[tail-],q[tail-])>=Slope(j,q[tail-],i)){
                     tail--;
                 }
                 q[tail++]=i;
             }
         }
         printf("%d\n",dp[n][m+]);
     }
     return ;
 }