洛谷 P4321 【随机漫游】
题目大意
给出\(n(n\leq 18)\)个点的无向连通图,\(m(m\leq 10^5)\)次询问。每次询问给出一个点集和一个起点\(s\),询问从\(s\)出发,经过这个点集中的每一个点至少一次的期望步数。
题目分析
经过这个点集每一个点至少一次的期望步数,就是到达点集最后一个点的期望步数。这个直接算貌似不好求,考虑min-max容斥。
对于每一个起点,\(\max(S)=\sum\limits_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\)
\(\max(S)\)表示到达点集\(S\)中的最后一个点的期望步数。
\(\min(S)\)表示到达点集\(S\)中的最初一个点的期望步数。
怎么求\(\min(T)\)呢?
枚举集合\(T\),设其补集为\(C\),设对于点\(x\)的\(\min(T)\)为\(f_x\)。
对于\(T\)中的点\(x\),显然\(f_x=0\)
对于\(C\)中的点\(x\),\(f_x=\frac{1}{d_x}\sum\limits_{(x,y)\in E}f_y+1\)
那么就可以高斯消元了。
如何快速计算\(\max(S)\)呢?
FWT\(O(n* 2^n)\)计算子集贡献已经是常规操作了。
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