显然可以费用流来做,具体建图如下——

点集:源点,汇点,左边$n$​个工人,右边$n$​​​个设备

边集:源点向第$i$​个工人连$(1,a_{i})$​的边,第$i$​个设备向汇点连$(1,b_{i})$​​​的边,工人向可用的设备连$(1,0)$​的边

跑最小费用最大流,流量为$i$时的费用即为$i$时的答案

但注意到要跑$n$次spfa,每一次的最坏复杂度为$o(n^{3})$,显然无法通过

实际上,spfa即找到$x$和$y$,使得第$x$个工人和第$y$个设备都未被使用过,且第$x$个工人能流到第$y$个设备,在此基础上最大化$a_{x}+b_{y}$​,那么不妨手动来实现此功能

考虑按照$a_{i}$​​从大到小枚举左边未被使用过的的工人,并递归其能流到的点,求出其中设备$b_{i}$​的最大值

注意到当一个点已经被访问过,显然再访问一定不优于之前,单次复杂度即降为$o(n^{2})$​

每一个点只会被访问一次,因此复杂度瓶颈在于遍历边集,使用bfs来代替dfs,并对点分类讨论:

1.对于工人,其几乎到所有设备都有边,缺的仅有$o(m)$条限制和$o(n)$条之前流过的边,因此只需要遍历所有当前未被访问的点,并搜索其中可以访问的点

注意到一个未访问的点被遍历,要么被访问,要么属于$o(n+m)$​​条边之一,因此总复杂度即$o(m)$​​​

2.对于设备,其出边只有$o(n)$条之前流过的边的反向边,暴力遍历边集即可,总复杂度即$o(n)$

由此,单次复杂度降为$o(m)$​​,总复杂度即$o(nm)$​​,可以通过

  1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define N 4005
4 #define ll long long
5 queue<int>q;
6 vector<int>v[N];
7 int t,n,m,x,y,a[N],b[N],id[N],visa[N],visb[N],vis[N],nex[N],pre[N<<1],mx[N],e[N][N];
8 ll ans;
9 bool cmp(int x,int y){
10 return a[x]>a[y];
11 }
12 int bfs(int k){
13 int s=0;
14 q.push(k);
15 vis[k]=1;
16 while (!q.empty()){
17 int k=q.front();
18 q.pop();
19 if (k<=n){
20 for(int i=nex[0],j=0;i<=n;j=i,i=nex[i])
21 if (e[k][i]){
22 pre[i+n]=k;
23 q.push(i+n);
24 nex[j]=nex[i],i=j;
25 }
26 }
27 else{
28 k-=n;
29 if ((!visb[k])&&(b[s]<b[k]))s=k;
30 for(int i=0;i<v[k].size();i++)
31 if (!vis[v[k][i]]){
32 pre[v[k][i]]=k+n;
33 q.push(v[k][i]);
34 vis[v[k][i]]=1;
35 }
36 }
37 }
38 return s;
39 }
40 int calc(){
41 int ans=0;
42 for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0;
43 for(int i=0;i<=n;i++)nex[i]=i+1;
44 for(int i=1;i<=(n<<1);i++)pre[i]=0;
45 for(int i=1;i<=n;i++){
46 mx[i]=0;
47 if ((!visa[id[i]])&&(!vis[id[i]])){
48 mx[i]=bfs(id[i]);
49 if (mx[i])ans=max(ans,a[id[i]]+b[mx[i]]);
50 }
51 }
52 if (!ans)return 0;
53 for(int i=1;i<=n;i++)
54 if ((mx[i])&&(a[id[i]]+b[mx[i]]==ans)){
55 visa[id[i]]=1,visb[mx[i]]=1;
56 for(int lst=mx[i]+n,j=pre[lst];j;lst=j,j=pre[j]){
57 if (j<=n){
58 e[j][lst-n]=0;
59 v[lst-n].push_back(j);
60 }
61 else{
62 e[lst][j-n]=1;
63 for(int k=0;k<v[j-n].size();k++)
64 if (v[j-n][k]==lst){
65 v[j-n].erase(v[j-n].begin()+k);
66 break;
67 }
68 }
69 }
70 break;
71 }
72 return ans;
73 }
74 int main(){
75 scanf("%d",&t);
76 while (t--){
77 scanf("%d%d",&n,&m);
78 ans=0;
79 for(int i=1;i<=n;i++){
80 visa[i]=visb[i]=0;
81 v[i].clear();
82 }
83 for(int i=1;i<=n;i++)
84 for(int j=1;j<=n;j++)e[i][j]=1;
85 for(int i=1;i<=n;i++){
86 scanf("%d",&a[i]);
87 id[i]=i;
88 }
89 sort(id+1,id+n+1,cmp);
90 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
91 for(int i=1;i<=m;i++){
92 scanf("%d%d",&x,&y);
93 e[x][y]=0;
94 }
95 for(int i=1;i<=n;i++){
96 int s=calc();
97 if (!s){
98 for(;i<=n;i++)printf("-1\n");
99 break;
100 }
101 ans+=s;
102 printf("%lld\n",ans);
103 }
104 }
105 return 0;
106 }

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