P3343-[ZJOI2015]地震后的幻想乡【dp,数学期望】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3343

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题目大意

给出\(n\)个点的一张无向图，每条边被修复的时间是\([0,1]\)的一个随机实数，求这张图联通期望时间。

\(1\leq n\leq 10,m\leq \frac{n(n-1)}{2}\)

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解题思路

这个随机实数好像是用来吓人的（但是概率分布函数好像能搞）

假设修好了\(k\)条之后恰好联通了，那么期望需要的时间就是\(\frac{k}{m+1}\)

好了现在要求恰好在\(k\)条边修好之后联通的方案，因为每条边修好的先后顺序是完全随机的。

设\(f_{S,i}\)在生成子图\(S\)中修好了\(i\)条边是没有联通的方案，\(g_{S,i}\)则表示联通了的方案，\(d_{S}\)表示生成子图\(S\)的边数。

求\(f_{S,i}\)的话和之前的[集训队作业2013]城市规划思路很向，考虑扩展出一个新的点\(k\)，那么我们枚举一个包含\(k\)的联通块\(T(k\in T,T\subseteq S)\)，然后合并这个联通块后其他的乱选，就有方程

\[f_{S,i}=\sum_{k\in T,T\subseteq S}\sum_{j=0}^{min\{d_{T},i\}}g_{T,j}\times \binom{d_{S-T}}{i-j}
\]

然后\(g_{S,i}\)不需要专门的方程因为有\(f_{S,i}+g_{S,i}=\binom{d_S}{i}\)

然后答案就是

\[\sum_{i=0}^{m}\frac{i}{m+1}(\frac{f_{G,i}}{\binom{d_G}{i}}-\frac{f_{S,i-1}}{\binom{d_G}{i-1}})=\frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^m\frac{f_{G,i}}{\binom{d_G}{i}}
\]

时间复杂度\(O(3^nn^2)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=10;
ll n,m,e[1<<N],d[1<<N],g[1<<N][N*N/2],f[1<<N][N*N/2],C[51][51];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		x--;y--;e[(1<<x)|(1<<y)]++;
	}
	ll MS=(1<<n);
	for(ll s=0;s<MS;s++)
		for(ll t=s;t;t=(t-1)&s)
			d[s]+=e[t];
	C[0][0]=1;
	for(ll i=1;i<=50;i++)
		for(ll j=0;j<=50;j++)
			C[i][j]=(j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j];
	for(ll s=1;s<MS;s++){
		for(ll i=0;i<=d[s];i++){
			ll k=s&-s;
			for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s)
				if(t&k)
					for(ll j=0;j<=min(i,d[t]);j++)
						f[s][i]+=g[t][j]*C[d[s-t]][i-j];
			g[s][i]=C[d[s]][i]-f[s][i];
		}
	}
	double ans=0;
	for(ll k=0;k<=m;k++)
		ans+=(double)f[MS-1][k]/C[m][k];
	printf("%.6lf\n",ans/(double)(m+1));
	return 0;
}