CDQ&整体二分-三维偏序(陌上花开)

题面

本文讲cdq，整体二分的思路与做法。=分治VS数据结构

其实维度这一方面，空间几何可以是维度，像时间这样有规定顺序的词语也可能是维度。

cdq

三维偏序，一般可以用一维一维的消。可以用cdq嵌套，线段树嵌套来做，我还不会，这里用排序一维，cdq一维，树状数组一维，感觉对比嵌套在思维拓展方面有帮助。

题面的\(f[i]\)满足\(a[j]\leq a[i],b[j]\leq b[i],c[j]\leq c[i]\)，因为元素相同的情况在分治中会出现漏解，所以cdq分治在出现相同元素时常做去重处理。

做法：

先按去重后序列以a为第一关键字 注意不是唯一关键字排序，

然后常规分治，之后将左右区间分别按照b为（第一）关键字排序，

这时因为我们要根据左区间给右区间贡献，而左区间的a值一定都小于右区间的a值，所以a无影响。按照b归并排序的同时更新树状数组，并得到右区间的贡献最后记得清空树状数组

代码

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#define M (l+r>>1)

using namespace std;

const int N=1e5+5;

int n,k,tot,ans[N],tr[N<<1];

struct qh{

    int a,b,c,ans,cnt;

}in[N],a[N];

bool c1(qh a,qh b){return a.a==b.a?a.b==b.b?a.c<b.c:a.b<b.b:a.a<b.a;}

bool c2(qh a,qh b){return a.b==b.b?a.c<b.c:a.b<b.b;}

int lowbit(int x){return x&(-x);}

void add(int x,int y){for(int i=x;i<=k;i+=lowbit(i)) tr[i]+=y;return ;}

int gs(int x){int res=0;for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];return res;}

void cdq(int l,int r){

    if(l==r) return ;

    cdq(l,M);cdq(M+1,r);

    sort(a+l,a+M+1,c2);sort(a+M+1,a+r+1,c2);

    int q1=l,q2=M+1;

    while (q1<=M&&q2<=r){

        if(a[q1].b<=a[q2].b){

            add(a[q1].c,a[q1].cnt);

            q1++;

        }

        else{

            a[q2].ans+=gs(a[q2].c);

            q2++;

        }

    }

    while (q2<=r){

        a[q2].ans+=gs(a[q2].c);

        q2++;

    }

    for(int i=l;i<q1;i++) add(a[i].c,-a[i].cnt);        //*******

    return ;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&k);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&in[i].a,&in[i].b,&in[i].c);

    sort(in+1,in+n+1,c1);

    int c=0;

    for(int i=1;i<=n;i++){

        c++;

        if(in[i].a!=in[i+1].a||in[i].b!=in[i+1].b||in[i].c!=in[i+1].c) a[++tot]=(qh){in[i].a,in[i].b,in[i].c,0,c},c=0;

    }

    cdq(1,tot);

    for(int i=1;i<=tot;i++) ans[a[i].ans+a[i].cnt-1]+=a[i].cnt;

    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;

}

//cdq分治：相同元素做去重处理

整体二分

例题

题目大意：

给定一个长度为 n ( n <= 50,000 ) 的数组 a[1] , a[2] ... a[n] 和 q ( q <= 10,000 ) 此询问，每次询问：

Q i j k 表示区间 [i,j] 中第 k 小的数是多少，并输出这个数
C i t 表示将第 i 个数改为 t

样例输入

样例输出

3

6

整体二分，顾名思义，就是把所有的东西拿来一起二分。在这道题里我们还要开一棵树状数组。

修改操作等于删除+添加
查询操作=二分答案
修改和加入按照所在位置二分
顺序处理所有操作

如果哪一步不懂就看代码吧。

#include<cstdio>

#include<iostream>

#define M (l+r>>1)

using namespace std;

const int N=5e4+5;

int n,q,tot,qtot,a[N],ans[N],tr[N],cnt[N<<1];

struct qh{

    int x,y,z,t,ad,s;

}E[N<<1],El[N<<1],Er[N<<1],op;

inline int Rd(){

    int s=0,w=1;char ch=getchar();

    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}

    while (ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();

    return s*w;

}

inline int lowbit(int x){return x&(-x);}

inline void add(int x,int y){

    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=y;

    return ;

}

inline int gs(int x){

    int res=0;

    for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];

    return res;

}

inline void init(int h,int t,int l,int r){

    if(h>t) return ;

    if(l==r){                    //pd l==r

        for(int i=h;i<=t;i++) if(E[i].t==3) ans[E[i].ad]=l;

        return ;

    }

    for(int i=h;i<=t;i++){       //ls

        if(E[i].t==1&&E[i].y<=M) add(E[i].x,1);

        else if(E[i].t==2&&E[i].y<=M) add(E[i].x,-1);

        else if(E[i].t==3) cnt[i]=gs(E[i].y)-gs(E[i].x-1);

    }

    for(int i=h;i<=t;i++){       //empty

        if(E[i].t==1&&E[i].y<=M) add(E[i].x,-1);

        else if(E[i].t==2&&E[i].y<=M) add(E[i].x,1);

    }

    int l1=0,r1=0;

    for(int i=h;i<=t;i++){       //merge

        if(E[i].t==3){

            if(E[i].s+cnt[i]>=E[i].z) El[l1++]=E[i];

            else E[i].s+=cnt[i],Er[r1++]=E[i];

        }

        else if(E[i].y<=M) El[l1++]=E[i];

        else Er[r1++]=E[i];

    }

    for(int i=0;i<l1;i++) E[h+i]=El[i];

    for(int i=0;i<r1;i++) E[h+l1+i]=Er[i];

    init(h,h+l1-1,l,M);

    init(h+l1,t,M+1,r);

}

int main(){

    n=Rd();q=Rd();

    for(int i=1;i<=n;i++){

        a[i]=Rd();

        op.x=i;op.y=a[i];op.t=1;

        E[++tot]=op;

    }

    while (q--){

        char ch=getchar();

        int x,y,z;

        while (ch!='Q'&&ch!='C') ch=getchar();

        if(ch=='Q'){

            x=Rd();y=Rd();z=Rd();

            op.x=x;op.y=y;op.z=z;op.t=3;op.ad=++qtot;

            E[++tot]=op;

        }

        else{

            x=Rd();y=Rd();

            op.x=x;op.y=a[x];op.t=2;E[++tot]=op;

            op.x=x;op.y=y;op.t=1;E[++tot]=op;

            a[x]=y;

        }

    }

    init(0,tot,0,1e9);

    for(int i=1;i<=qtot;i++) printf("%d\n",ans[i]);

    return 0;

}

结构跟权值线段树还挺像

总结

整体二分的思想是同时对处理区间和答案进行二分。

CDQ分治的 **思想 **是用处理方式（关键字）进行排序，然后对时间进行二分。

整体二分 可以用于 求询问操作一样，而且可以二分答案解决的问题（具有单调性，如时间可以二分）。

CDQ分治 可以用于 求多维偏序问题。

整体二分从上往下做，CDQ分治从下往上做。

两种分治算法都比较暴力，它们的优点是代码短而清晰，缺点是复杂度玄学，必须离线。

所以，这次还是没能决出胜负啊。