fold算法（拉格朗日插值）

 如果打表发现某个数列: 差分有限次之后全为0  例如: 2017新疆乌鲁木齐ICPC现场赛D题 ,,,,,,,,,,……
 【2018江苏南京ICPC现场赛也有这样的题目】
 那么可以使用以下黑科技计算出第k(1e18)项(对质数取模) (原理: 拉格朗日插值)
 预处理复杂度为线性, 每次计算复杂度为: O(传入项数个数)【同样也是线性】
 以下代码为内测版, 出锅了fold不背锅, 欢迎指出bug
 
 ------------------------下面是模板代码------------------------
 typedef long long ll;
 
 //mod一定要是质数
 const int mod=1e9+;
 
 int pv[]={,,,,,,,}; //前几项, 前面无效值用0占位
 const int st=,ed=;           //使用上面数组下标为[st,ed]的数据
 
 ll fac[ed+],inv[ed+],facinv[ed+];
 ll pre[ed+],saf[ed+];
 
 //预处理: fac[]阶乘, inv[]逆元, facinv[]阶乘逆元
 //只需要main函数内调用一次!
 void init()
 {
     fac[]=inv[]=facinv[]=;
     fac[]=inv[]=facinv[]=;
     for(int i=;i<ed+;++i)
     {
         fac[i]=fac[i-]*i%mod;
         inv[i]=mod-(mod/i*inv[mod%i]%mod);
         facinv[i]=facinv[i-]*inv[i]%mod;
     }
 }
 
 //计算第x0项的值
 //复杂度O(ed-st)
 ll cal(ll x0)
 {
     int n=ed-st;
     x0=((x0%mod)+mod)%mod;
     pre[]=((x0-st)%mod+mod)%mod;
     saf[n]=((x0-st-n)%mod+mod)%mod;
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         pre[i]=((pre[i-]*(x0-st-i))%mod+mod)%mod;
         saf[n-i]=((saf[n-i+]*(x0-st-n+i))%mod+mod)%mod;
     }
     ll res=;
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
         ll fz=;
         if(i!=)fz=fz*pre[i-]%mod;
         if(i!=n)fz=fz*saf[i+]%mod;
         ll fm=facinv[i]*facinv[n-i]%mod;
         if((n-i)&)fm=mod-fm;
         (res+=pv[i+st]*(fz*fm%mod)%mod)%=mod;
     }
     return res;
 }

fold爷nb