博弈论 && 题目

终于我也开始学博弈了，说了几个月，现在才学。学多点套路，不深学。（~~）

参考刘汝佳蓝书p132

nim游戏：

假设是两维的取石子游戏，每次可以在任意一堆拿任意数量个（至少一根，因为这样游戏的状态集有限，所以如果可以不拿的，那应该不是nim游戏了，大家都不拿，出现了bug），同时规定没有办法拿的那个人输。

那么记录状态win[i][j]表示第一堆是i个，第二堆是j个的时候，是否必胜。则win[0][0] = false

win[0][1--m] = true因为可以拿走全部，使得对手走去win[0][0]的必败状态。同理win[1---n][0] = true

那么，定义：

①、一个状态是必败态当且仅当它的所有后继（也就是所有取石子方案）都是必胜态。　　必败态是取什么都败

②、一个状态是必胜态当且仅当它至少有一个后继是必败态。   注意，必胜态不是任取都胜，是通过某种策略取了，然后胜利。

③、没有后继的状态是必败态（因为这里我们假设不能走就是输）

有了上面的基础，

学习了Chomp！游戏

有一个n*m的矩阵，每次可以拿走(x, y)及其右上方的所有格子，谁拿到（1， 1）这个格子的输。

// 嗯所以win[1][1] = false, win[1][2--m] = true, win[2---n][1] = true，然后我不会推了，

这里用的是反证法，假设先手必败。但是我发现一个技巧就是，你只能假设他必败，因为定义1，必败态的所有后继都是必胜。如果你假设它必胜，那么只需要找到一个后继是必败就能证明，但这往往很难找。所以要假设它是必败的。

那么如果先手必败，它取哪一个都是败，设是(n, m)，这个时候后手必胜，它通过某种策略取到了必胜局面。那么事实上，先手在第一次取得时候就可以和后手这次取得一模一样，抢先进入必胜局面，这和假设矛盾。所以只有n==1&&m==1是输，其他赢。

变种：约数游戏。

有1--n个数字，两人轮流选择一个数，并且把这个数和它的约数全部删去，擦去最后一个的人赢。

假设先手必败，就是它任取哪一个都败，假设我取了1，然后后手通过某种策略，擦去了x，使得进去必胜局面，那么其实这个局面先手可以抢先进入，因为1的所有数字的约数。所以先手永远必胜。

nyoj 23 取石子（一）

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=23

设f[0]是必败态，那么f[1--m]是必胜态，f[m + 1]的后继只有f[1---m]，也就是留了一个必胜的后继给对手，所以f[m  + 1]是必败态。一路算下去，只要是m + 1的倍数的，都是必败态。

原来这是巴什博奕（Bash Game）：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>

void work() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if (n <= m) {
        cout << "Win" << endl;
        return;
    }
    int base = m + ;
    n %= base;
    if (n == ) {
        cout << "Lose" << endl;
    } else cout << "Win" << endl;
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) work();
    return ;
}

Nim和

假设是取三堆石子，每堆石子至少取一个，可以取完，这样的游戏怎么快速解答，因为数字很大。

设f(x1, x2, x3)表示三堆石子现在剩余个数的状态。

L.Bouton定理：状态f(x1, x2, x3)是必败态的条件是：当且仅当x1 ^ x2 ^ x3 == 0，称为Nim sum

这是单个游戏的结论，就是这个游戏就是给你三堆石子来玩。

但是组合游戏：是给你很多个子游戏，每个子游戏就是三堆石子来玩。组合游戏都是很复杂的。注意你不能直接把x个子游戏里面的石头的值全部异或起来，然后判断nim和，这是不对的，因为每个游戏不互相影响。

那么怎么判断整个组合游戏的局面呢？

sg函数，怎么说呢，就是它的后继集合，第一个没有出现的非0整数。其实整个博弈过程就是一颗树。

从状态f(x, y)--->【f(a, b), f(c, d), f(x, y)】都是它的后继，就是能直接到达的状态。每个状态又有后继。那么可以知道，没有后继的状态是必败的，因为你没得取石子了。记为0，那么它的父状态是必胜的，记为1，递归上去即可。

一开始以为sg函数不是0就是1，其实是错的，因为一个状态有很多兄弟状态，如果兄弟状态的值是0、1、那么父状态就是2了。

可以知道，一个状态为必败态的充要条件是sg值等于0.等于0说明它的后继没有0，它的后继没有0说明所有后继状态都是必胜态。

所以父状态是必败的。

sg定理：组合游戏和的sg函数等于各个子游戏sg函数的nim和。（nim和其实就是全部异或起来）

组合游戏和的sg函数，也是一样，必败态的充要条件是sg值等于0。

那么其实上面说的判断nim游戏的输赢，其实就是sg定理的直接应用。可以看出若干个一堆的nim游戏。

假设一个nim游戏是三堆石子x, y, z，那么sg(x) = x的，是必胜的，因为一次全拿就是胜了。

所以nim和就是sg(x) ^ sg(y) ^ sg(z)，也即是x ^ y ^ z

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nyoj 135 取石子（二）

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=135

这题是n个的bash游戏。

算出整个组合游戏的sg即可，单个游戏的sg值是n % (m + 1)，可以先看看sg值找下规律。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>

const int maxn = ;
int sg[maxn], vis[maxn];
LL calc(LL n, LL m) {
    return n % (m + );
}
void work() {
    int n;
    cin >> n;
    LL res = ;
    for (int i = ; i <= n; ++i) {
        LL x, y;
        cin >> x >> y;
        if (x ==  || y == ) continue;
        res ^= calc(x, y);
    }
    if (res) {
        cout << "Win" << endl;
    } else cout << "Lose" << endl;
//    sg[0] = 0;
//    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
//        memset(vis, 0, sizeof vis);
//        for (int j = 1; j <= min(i, m); ++j) vis[sg[i - j]] = 1;
//        for (int j = 0; ; ++j) {
//            if (!vis[j]) {
//                sg[i] = j;
//                break;
//            }
//        }
//        printf("%d ", sg[i]);
//    }
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) work();
    return ;
}

注意，sg值是4说明必胜，sg值是1也是说明必胜，但是两者是不等价的。

SG函数真的很好用，打表找下规律就马上出来了。

A - The game of Osho Gym - 101147A 

http://codeforces.com/gym/101147/problem/A

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>

const int maxn = ;
int sg[maxn * maxn];
bool vis[maxn * maxn];
int calc(int n, int k) {
    if (k > n) return n & ;
    if (k & ) return n & ;
    else {
        int dis = k -  + ;
        if (n > dis) n %= dis;
        if (n <= k - ) {
            return n & ;
        } else {
            n -= k - ;
            return n % ;
        }
    }
}
void calcSg() {
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    sg[] = ;
    for (int i = ; i <= n; ++i) {
        memset(vis, false, sizeof vis);
        int t = ;
        for (t; t <= i; t *= k) {
            vis[sg[i - t]] = true;
            if (k == ) break;
        }
        for (int j = ; ; ++j) {
            if (!vis[j]) {
                sg[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
    for (int i = ; i <= n; ++i) {
        printf("%d ", sg[i]);
    }
    printf("\n");
    cout << endl;
    cout << calc(n, k) << endl;
    cout << sg[n] << endl;
}

void work() {
    int has;
    int res = ;
    scanf("%d", &has);
    while (has--) {
        int n, k;
        scanf("%d%d", &k, &n);
        res ^= calc(n, k);
//        cout << n << " " << k << " " << calc(n, k) << " fff" << endl;
    }
    if (res) {
        printf("1\n");
    } else printf("2\n");
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
//    calcSg();
    freopen("powers.in", "r", stdin);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
        work();
    return ;
}

跪了，跪了一个晚上，做NYOJ 161 取石子 (四）

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=161

想到了怎么打sg表，也打出来了，可是还是找不到规律。

然后居然发现是威佐夫博奕，差值 * (1.618) == mi就是必败态。

sg还是挺好打的，像以前一样枚举一维中取1、2、3、....、4。在第二维中取1、2、3、4、.....

两维同时取1、2、3、4...5

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <bitset>

const int maxn =  + ;
int sg[maxn][maxn];
bool vis[maxn * maxn];
int a, b;
void calcSg() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = ; i <= n; ++i) {
        sg[i][] =  ^ i;
    }
    for (int i = ; i <= m; ++i) {
        sg[][i] =  ^ i;
    }
    for (int i = ; i <= n; ++i) {
        for (int j = ; j <= m; ++j) {
//            sg[i][j] = i ^ j;
            memset(vis, , sizeof vis);
            for (int t = ; t <= min(i, j); ++t) {
                vis[sg[i - t][j - t]] = true;
            }
            for (int t = ; t <= i; ++t) {
                vis[sg[i - t][j]] = true;
            }
            for (int t = ; t <= j; ++t) {
                vis[sg[i][j - t]] = true;
            }
            for (int t = ; ; ++t) {
                if (!vis[t]) {
                    sg[i][j] = t;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    for (int i = ; i <= n; ++i) {
        for (int j = ; j <= m; ++j) {
            printf("%4d ", sg[i][j]);
//            cout << i << " " << j << " " << sg[i][j] << endl;
        }
        cout << endl;
    }
}
void work() {
    const double res = (sqrt(5.0) + ) / ;
    int mi = min(a, b);
    int mx = max(a, b);
    int dis = mx - mi;
    if ((int)(dis * res) == mi) {
        cout << "" << endl;
    } else cout << "" << endl;
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
//    calcSg();
    while (cin >> a >> b && (a + b)) work();
    return ;
}