【题解】kth异或和/魔改版线性基
【题解】魔改版线性基
魔改版线性基解决此类问题。
联系线性空间的性质,我们直接可以构造出这样的基:
\\
010000
\\
000010
\\
000001
\]
使得每个基的最高位是唯一的,我们的目的是要能够保证从上往下一直异或一直变大,所以不能使基出现这样的情况:
\\
000001
\]
一个不能从上往下一直异或一直变大的例子。
考虑如何构造\(kth\) 大(小),考虑这样的性质,我们记\(a_i\)表示从下往上第\(i\)个基,显然从\(0\)开始,如果我们异或了\(a_x\),那么我们可以保证我们会比这个线性空间内\(2^{x-1}\)个值都要大,直接考虑从上往下查询,类似树上倍增。
考虑无解的情况,显然当我们发现\(k \ge 2^{|E|}\)时就无解了。
然而我们有一个问题,那就是我们默认\(0\)是可以被表示出来的,然而我们知道,当给定元素全部互为不相关时,这个时候就不存在一个\(0\)会被表示出来了。那么我们可以特判一下即可 。
好,那么如何构造从上往下一直异或一直变大的基呢?魔改一下就好了。具体看代码。
分析复杂度:我们把魔改操作的\(log^2\)看做常数吧...那就是\(O(nlogn)\)
当然你如果不承认魔改操作是常数,那就继续魔改\(upd\)函数,也可以做到\(nlogn\)。具体就是加入的时候从小往大加。
下面的第\(k\)小,转换为第\(k\)大用\(2^{|E|}\)减去即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template <class ccf>
inline ccf qr(ccf ret) {
ret = 0;
register char c = getchar();
while (c < 48 || c > 57) c = getchar();
while (c >= 48 && c <= 57) ret = ret * 10 + c - 48, c = getchar();
return ret;
}
namespace bs {
ll num[51], sav[51];
struct BASE {
ll data[51];
int cnt;
ll p;
BASE() {
memset(data, 0, sizeof data);
cnt = 0;
p = 1;
}
inline ll size() { return 1LL << cnt; }
inline void set() {
for (register int t = 1; t <= 50; ++t)
if (data[t])
for (register int i = t + 1; i <= 50; ++i)
if (data[i] & num[t])
data[i] ^= data[t];
}
inline void upd(ll x) {
for (register int t = 50; t >= 1; --t) {
if (x & num[t]) {
if (not data[t]) {
data[t] = x;
++cnt;
break;
} else
x ^= data[t];
}
if(not x) {
p=0;
break;
}
}
}
inline ll que(ll k) {
register ll ret = 0, sav = 0;
if(cnt==50) --k;
if (k > this->size())
return -1;
for (register int t = 50, f = 0; t >= 1; --t) {
if (data[t]) {
++f;
if (sav + (1LL << (cnt - f)) <= k)
sav += 1LL << (cnt - f), ret = ret ^ data[t];
}
}
return ret;
}
inline void clear() {
memset(data, 0, sizeof data);
cnt = 0;
}
inline void debug() {
for (register int t = 50; t >= 1; --t) {
if (data[t])
cout << ((bitset<10>)data[t]) << ' ' << data[t] << endl;
}
cout << endl;
}
};
inline void init() {
for (num[0] = 2, num[1] = 1; num[0] <= 50; ++num[0]) num[num[0]] = num[num[0] - 1] << 1;
}
}
bs::BASE qaq;
int main() {
bs::init();
int n = qr(1);
for (register int t = 1; t <= n; ++t) qaq.upd(qr(1ll));
int m = qr(1);
qaq.set();
for (register int t = 1; t <= m; ++t) printf("%lld\n", qaq.que(qr(1ll)));
return 0;
}
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