cf 542E - Playing on Graph

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题目大意

给定一个\(n\le 1000\)个点的图

求经过一系列收缩操作后能否得到一条链，以及能得到的最长链是多长

收缩操作：

选择两个不直接相连的点，构造一个新点

对于原图中的每一个点，如果它与这两个点中的任意一个有连边

那么它向这个新点连一条边

最后删除选择的两个点，以及所有这两个点的连边

分析

注意到对于一个奇环，无论怎么收缩，都会产生一个新的奇环，最后奇环变成一个三角形，再也缩不了，永远无法变成一条链

只有偶环的图是二分图

对于图中的一个子图，它是二分图，我们就能构造一组解

选择一个点作为起点，从该点出发得到一棵\(bfs\)树

由于是二分图，\(bfs\)树同一层节点之间没有连边

由于是\(bfs\)树，每个点的连边只能在相邻一层的范围内，且必定和上一层节点有连边

那么我们把同一层节点缩在一起，就可以得到一条链

按照这种方法，图的直径就是答案（图的直径为最短路中的最大值）

直径时最优解可以用归纳法证明：

对于\(1\)个点的任意图显然成立

假设对于\(n\)个点的任意图成立，那么对于\(n+1\)个点的任意图

如果图中不存在环，那么是一棵树，直径显然是答案

否则，至少进行一次收缩，则答案为缩掉一对点后的直径中最大是多少

缩掉一个点后的直径一定不比原来的直径大

而原来的直径能构造出一组解

连通块间的答案是相加的：

对于图中的所有联通块，每块缩成一条链后，链可以两两合并

做法

先判断是不是二分图

然后每个联通块求一次图的直径

然后所有联通块的答案加起来

图的直径求法是每个点出发跑一次\(bfs\)

solution

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int M=1007;
const int N=1e5+7;
inline int ri(){
	int x=0;bool f=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
	return f?x:-x;
}
int n,m;
struct vec{
	int g[M],te;
	struct edge{
		int y,nxt;
		edge(int _y=0,int _nxt=0){y=_y,nxt=_nxt;}
	}e[N<<1];
	vec(){memset(g,0,sizeof g);te=0;}
	inline void push(int x,int y){e[++te]=edge(y,g[x]);g[x]=te;}
	inline void push2(int x,int y){push(x,y);push(y,x);}
	inline int& operator () (int x){return g[x];}
	inline edge& operator [] (int x){return e[x];}
}e;
int vis[M],ok,ans;
vector<int>pt;
int d[M];
void dfs(int x){
	int p,y;
	for(p=e(x);p;p=e[p].nxt){
		y=e[p].y;
		if(!vis[y]){
			vis[y]=3-vis[x];//1->2 2->1
			dfs(y);
		}
		else if(vis[y]!=3-vis[x]) ok=0;
	}
}
bool chk(){
	ok=1;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i]) vis[i]=1,dfs(i);
	return ok;
}
int gao(int bg){
	static int q[M];
	int h=0,t=1,x,p,y,i,mx=0;
	for(i=0;i<pt.size();i++) d[pt[i]]=-1;
	q[1]=bg;d[bg]=0;
	while(h!=t){
		x=q[++h];
		mx=max(mx,d[x]);
		for(p=e(x);p;p=e[p].nxt)
		if(d[y=e[p].y]==-1){
			d[y]=d[x]+1;
			q[++t]=y;
		}
	}
	return mx;
}
void getpt(int x){
	vis[x]=1; pt.push_back(x);
	for(int p=e(x);p;p=e[p].nxt) if(!vis[e[p].y]) getpt(e[p].y);
}
int chain(int x){
	int i,mx=0; pt.clear();
	getpt(x);
	for(i=0;i<pt.size();i++) mx=max(mx,gao(pt[i]));
	return mx;
}
void solve(){
	ans=0;
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!vis[i]) ans+=chain(i);
	printf("%d\n",ans);
}
int main(){
	int i;
	n=ri(),m=ri();
	for(i=1;i<=m;i++) e.push2(ri(),ri());
	if(chk()) solve();
	else puts("-1");
	return 0;
}