【bzoj1911】 Apio2010—特别行动队

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1911 (题目链接)

题意

　　给出一个序列，将序列分成连续的几段，每段的价值为a*s*s+b*s+c，其中a,b,c为给定常数，s为这一段中所有数之和。求最大价值和。

Solution

　　斜率优化。

　　dp方程：$${f[i]=max(f[j]+a*(s[i]-s[j])^2+b*(s[i]-s[j])+c)}$$

　　其中${s[i]}$为前缀和，${f[i]}$表示从1~i的最大价值。

　　斜率式：$${s[i]*(2*a*s[j])+f[i]=(f[j]-b*s[j]+a*s[j]^2)+a*s[i]^2+b*s[i]+c}$$

　　所以决策${j}$映射到平面直角坐标系上就是：${(2*a*s[j],f[j]-b*s[j]+a*s[j]^2)}$。斜率：${s[i]}$为正且单增；横坐标${2*a*s[j]}$单减（${a}$小于0，${s[j]}$单增），所以单调队列里面的点长成这样：

细节

　　开long long。

代码

// bzoj1911
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf 1e18
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
 
const int maxn=1000010;
LL f[maxn],s[maxn],a,b,c;
int n,q[maxn];
 
double slope(int i,int j) {
	return (double)((f[i]-b*s[i]+a*s[i]*s[i])-(f[j]-b*s[j]+a*s[j]*s[j]))/(double)((2*a*s[i])-(2*a*s[j]));
}
int main() {
	scanf("%d",&n);
	scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
	int l=1,r=1;q[1]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		while (l<r && slope(q[l],q[l+1])<=s[i]) l++;
		f[i]=f[q[l]]+a*(s[i]-s[q[l]])*(s[i]-s[q[l]])+b*(s[i]-s[q[l]])+c;
		while (l<r && slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) r--;
		q[++r]=i;
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}