[问题2014S10]  设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵, 证明: \(AB\) 与 \(BA\) 相似的充分必要条件是 \[\mathrm{rank}\big((AB)^i\big)=\mathrm{rank}\big((BA)^i\big),\, i=1,2,\cdots,n-1.\]

  (1) 本题是复旦高代教材 P172 习题 6 的推广, 即若 \(A,B\) 中有一个是非异阵, 则 \(AB\) 与 \(BA\) 相似.

(2) 设 \[A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\, B=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\] 则 \(AB=B\) 不相似于 \(BA=0\), 这是因为 \(\mathrm{rank}(AB)=1\neq 0=\mathrm{rank}(BA)\).

[问题2014S10] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第十教学周)的更多相关文章

  1. [问题2014S01] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第一教学周)

    问题2014S01  设 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次数等于 2 的 \(n\) 元实系数多项式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) ...

  2. [问题2014S09] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第九教学周)

    [问题2014S09]  证明: \(n\) 阶方阵 \(A\) 与所有的 \(A^m\,(m\geq 1)\) 都相似的充分必要条件是 \(A\) 的 Jordan 标准型为 \[\mathrm{d ...

  3. [问题2014S02] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第二教学周)

    问题2014S02  设实系数多项式 \begin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \\ g(x) ...

  4. [问题2015S01] 复旦高等代数 II(14级)每周一题(第二教学周)

    [问题2015S01]  设 \(M_n(\mathbb{R})\) 是 \(n\) 阶实方阵全体构成的实线性空间, \(\varphi\) 是 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的线性变换, ...

  5. [问题2015S08] 复旦高等代数 II(14级)每周一题(第九教学周)

    [问题2015S08]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶复方阵, 证明: \(A\overline{A}\) 与 \(\overline{A}A\) 相似, 其中 \(\overline{A}\) ...

  6. [问题2014A07] 复旦高等代数 I(14级)每周一题(第九教学周)

    [问题2014A07]  设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 4 阶方阵, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mat ...

  7. [问题2014S12] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第十二教学周)

    [问题2014S12]  设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶半正定实对称阵, 证明: \(AB\) 的所有特征值都是非负实数. 进一步, 若 \(A,B\) 都是正定实对称阵, 证明: \(AB ...

  8. [问题2014S06] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第六教学周)

    [问题2014S06]  试用有理标准型理论证明13级高等代数I期末考试最后一题: 设 \(V\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维线性空间,  \(\varphi\) 为 \(V\) 上的线 ...

  9. [问题2014S03] 复旦高等代数II(13级)每周一题(第三教学周)

    [问题2014S03]  设 \(A\in M_n(\mathbb R)\) 是非异阵并且 \(A\) 的 \(n\) 个特征值都是实数. 若 \(A\) 的所有 \(n-1\) 阶主子式之和等于零, ...

随机推荐

  1. 抽象工厂模式(Abstract Factory)

    GOF:提供一个创建一系列相关或相互依赖对象的接口,而无需指定它们具体的类. 类图:

  2. ios-获取商店已上线app信息

    NSString *url = [[NSString alloc] initWithFormat:@"http://itunes.apple.com/lookup?id=%@",@ ...

  3. vsftpd增加ssl安全验证

    查看vsftpd是否支持ssl ldd `which vsftpd`|grep ssl 输出 libssl.so.6 => /lib64/libssl.so.6 (0x00002ba684304 ...

  4. Java简单类(部门、领导、雇员关系)

    class Dept { private int deptno ; private String dname ; private String loc ; private Emp emps [] ; ...

  5. [troubleshoot][archlinux][X] GPU HANG

    前言:如下内容已经是在hang完大概半个多月后了,当时想写,一直没过来写,写blog果然也是已经花费时间的事情. 最近一直在休假,电脑的使用频率也不多.后来还是为了生活,不情愿的去开始上班了,上班的第 ...

  6. php://input,php://filter,data URI schema的那些事

    一.php://input一句话木马 在调研dedecms的历史漏洞时,发现了dedecms安装文件曾经出过被植入后门的漏洞(SSV-ID站点include目录下shopcar.class.php文件 ...

  7. python file模块 替换输入内容脚本

    root@python-10:/home/liujianzuo/python/test# ls passwd rc.local test1 root@python-10:/home/liujianzu ...

  8. 关于iOS去除数组中重复数据的几种方法

    关于iOS去除数组中重复数据的几种方法   在工作工程中我们不必要会遇到,在数组中有重复数据的时候,如何去除重复的数据呢? 第一种:利用NSDictionary的AllKeys(AllValues)方 ...

  9. js日期字符串增加天数的函数

    //日期加天数的方法 //dataStr日期字符串 //dayCount 要增加的天数 //return 增加n天后的日期字符串 function dateAddDays(dataStr,dayCou ...

  10. iTween研究院之学习笔记Move移动篇

             最近项目中需要加入一些模型移动的小动画,学习过程中发现了iTween这个类库.它主要的功能就是处理模型从起始点到结束点之间运动的轨迹.(移动,旋转,音频,路径,摄像机等)它是一个开源 ...